* Se per un punto $P$ di una retta $\mathscr{s}$ si mandano due rette $\mathscr{a}$ e $\mathscr{b}$ perpendicolari a $\mathscr{s}$, allora $\mathscr{s}$ è perpendicolare a ogni altra retta $\mathscr{r}$ passante per $P$ e giacente sul piano delle rette $\mathscr{a}$ e $\mathscr{b}$.
Se dal piede di una perpendicolare a un piano si manda la perpendicolare a una qualunque retta del piano, quest'ultima risulta perpendicolare al piano delle prime due.
### Dimostrazione
Siano $\mathscr{r}$ la retta perpendicolare al piano $\alpha$ per $H$, $t$ una qualunque retta giacente su $\alpha$ non passante per $H$ e $\mathscr{s}$ la perpendicolare a $\mathscr{t}$ passante per $H$.
Siano $S$ l'intersezione tra $\mathscr{t}$ e $\mathscr{s}$, $P$ e $Q$ due punti su $t$ tali che $PS \cong PQ$ e $T$ un punto qualunque su $\mathscr{r}$.
Considero $\triangle HSQ$ e $\triangle HSP$. Essi hanno:
* $HS$ in comune
* $PS \cong PQ$ per costruzione
* $HS \perp s$
$\triangle HSQ \cong \triangle HSP$ per il 1° criterio di congruenza. In particolare hanno $HQ \cong HP$
Considero $\triangle THQ$ e $\triangle THP$. Essi hanno:
* $TH$ in comune
* $PS \cong PQ$ per dimostrazione precedente
* $T\widehat{H}Q \cong T\widehat{H}P$ perché retti
$\triangle THQ \cong \triangle THP$ per il 1° criterio di congruenza. In particolare hanno $TQ \cong TP$
Considero $\triangle TSQ$ e $\triangle TSP$. Essi hanno:
* $TS$ in comune
* $TQ \cong TP$ per dimostrazione precedente
* $QS \cong SP$ perché retti
$\triangle TSQ \cong \triangle TSP$ per il 3° criterio di congruenza. In particolare hanno $T\widehat{S}Q \cong T\widehat{S}P$.
$T\widehat{S}Q \cong T\widehat{S}P \cong \widehat{R} \Rightarrow TS \perp s \Rightarrow s \perp \beta$
Si chiama sezione di un diedro l’angolo che si ottiene come intersezione fra il diedro e un qualunque piano non parallelo allo spigolo che interseca il suo spigolo.
* Sezioni parallele di uno stesso diedro sono congruenti.
Un poliedro è una figura solida, limitata da un numero finito di poligoni, appartenenti a piani diversi, tali che il piano di ogni poligono non attraversi il solido.
Si chiama piramide la parte di angoloide compresa tra il suo vertice ed un piano che lo interseca completamente.
### Teoremi
In una piramide retta le altezze delle facce laterali passano per i punti di tangenza dei lati di base con la circonferenze inscritta e sono tra loro congruenti.
In un cono, le misure delle aree del cerchio di base e del cerchio ottenuto da una sezione parallela al piano di base stanno tra loro come i quadrati delle misure delle loro distanze dal vertice.
Un solido non può essere equivalente ad una sua parte.
Un solido $\mathscr{A}$ è maggiore di un solido $\mathscr{B}$, se $\mathscr{B}$ è equivalente a una parte di $\mathscr{A}$. In tal caso si può dire che $\mathscr{A}$ è prevalente a $\mathscr{A}$: $\mathscr{A} > \mathscr{B}$
## Legge di esclusione
Dati due solidi $\mathscr{A}$ e $\mathscr{B}$ qualunque, o $\mathscr{A} \doteq \mathscr{B}$ o $\mathscr{A} > \mathscr{B}$ o $\mathscr{A} < \mathscr{B}$.
Se due solidi possono essere disposti in modo che vengano tagliati secondo sezioni equivalenti su ogni piano parallelo a un altro piano arbitrariamente fissato allora sono equivalenti.
## Equivalenza dei solidi
### Prismi
* Se due prismi hanno basi equivalenti e altezze congruenti allora sono equivalenti.
* Se un prisma e un cilindro hanno basi equivalenti e altezze congruenti allora sono equivalenti.
### Piramidi
* Se due piramidi hanno basi equivalenti e altezze congruenti allora sono equivalenti.
* Una piramide è equivalente alla terza parte di un prisma che abbia la stessa base e la stessa altezza.
* Una piramide e un cono che hanno basi equivalenti e altezze congruenti sono equivalenti.
Si dice anticlessidra il solido ottenuto dalla differenza fra un cilindro equilatero circoscritto ad una sfera di centro $O$ e due coni di vertice $O$ di basi coincidenti con la base di tale cilindro.
Una sfera $\mathscr{S}$ è equivalente alla sua anticlessidra $\mathscr{A}$.
**Dimostrazione**
Sia $\alpha$ il piano della base del cilindro e $\alpha'$ un qualsiasi piano parallelo a $\alpha$.
$\alpha'$ interseca il cilindro ad un'altezza $h$ da $O$, interseca il cono in $A$ e la sfera in $B$.
Il triangolo $\triangle{OHA}$ è simile al triangolo generatore dei coni dell'anticlessidra per il teorema di Talete. Pertanto è un rettangolo isoscele $\Rightarrow \overline{AH} = h$.
La sezione di cilindro sul piano $\alpha$' individua una corona circolare di raggio $r$ (raggio del cilindro) e raggio interno $\overline{OA}$, cioè $h$.
La corona ha quindi area $A=\pi r^2-\pi h^2 = \pi(r^2-h^2)$
Il triangolo $\triangle{OHB}$ è simile al triangolo generatore dei coni dell'anticlessidra per il teorema di Talete. Pertanto è un rettangolo. Per il teorema di Pitagora: $\overline{HB}^2 = \overline{OB}^2 - \overline{OH}^2 = r^2 - h^2$.
La sezione di sfera sul piano $\alpha'$ individua un cerchio di raggio $HB$.
L'area del cerchio è quindi: $A=\pi(r^2-h^2)$
Il cerchio e la corona circolare sono equivalenti quindi per il principio di Cavalieri: $\mathscr{S} \doteq \mathscr{A}$
Si dice scodella di Galileo il solido ottenuto dalla differenza fra un cilindro di altezza uguale al raggio di base circoscritto ad una semisfera di centro $O$ e la sfera stessa.
**Teorema**
La scodella di Galileo $\mathscr{S}$ è equivalente al cono $\mathscr{C}$ di vertice $O$ e di base congruente alla base della scodella.
**Dimostrazione**
Sia $\alpha$ un qualunque piano parallelo al piano della base $\pi$ che intersechi $\mathscr{S}$ e $\mathscr{C}$ formando un cerchio $S$ e una corona circolare $S_1$.
Siano $A$ e $B$ gli estremi del diametro della base della scodella su $\pi$.
Indicato con $\delta$ il piano per $A,B,O$, $\delta$ interseca $\alpha$ in $C$ e $N$.
I punti in comune tra $\alpha, \delta$ e la semisfera sono $D$ e $M$ e quelli tra $\alpha, \delta$ e il cilindro sono $E$ e $Z$.
Infine sia $H$ il piede della perpendicolare $\mathscr{t}$ condotta da $O$ ad $\alpha$ e K l'intersezione tra $\mathscr{t}$ e $\pi$.
$OK \cong KB$ per definizione $\Rightarrow$ $\triangle KOB$ è rettangolo isoscele in $K$.
$\triangle OHN \sim \triangle KOB$ in quanto hanno $\widehat{O}$ in comune e $HN \parallel KB \Rightarrow \triangle OHN$ è isoscele $\Rightarrow \overline{OH}=\overline{OK}$.
Posto $h = \overline{OH}$, l'area del cerchio risulta $A_S=\pi h^2$
Considero $\triangle OHM$ rettangolo: per il teorema di Pitagora: $\overline{HM}=\sqrt{\overline{OM}^2-\overline{HM}^2} = \sqrt{r^2-h^2}$ (l'ipotenusa è il raggio della semisfera)
L'area della corona circolare è pertanto: $A_{S_1}=\pi\left(\overline{HZ}^2-\overline{HM}^2\right) = \pi [r^2 - (r^2 -h^2)] = \pi h^2$
$S \equiv S_1$ per il principio di Cavalieri: $\mathscr{S} \doteq \mathscr{C}$
