geometria-solida/index.md

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title: Geometria Solida
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# Lo spazio e la geometria solida

# Postulati dello spazio

## Postulato n. 1
![Piano per 3 punti](images/1.png)

Per tre punti non allineati passa uno e un solo piano.


## Postulato n. 2
![Retta per un piano](images/2.png)

Fissati due punti in un piano, la retta passante per i due punti giace interamente sul piano.


## Postulato di partizione dello spazio
Un qualunque piano divide l’insieme dei punti dello spazio che non gli appartengono in due regioni dette semispazi con le seguenti proprietà:

* due punti qualsiasi della stessa regione sono gli estremi di un segmento che non interseca il piano;
* due punti qualsiasi di regioni diverse sono gli estremi di un segmento che interseca il piano. Il piano si dice origine dei semispazi.



# Rette nello spazio

### Posizione di due rette nello spazio
![Rette e piani](images/3.png)

Due rette che giacciono sullo stesso piano, si dicono complanari, altrimenti si dicono sghembe.

### Posizione di due piani nello spazio
![Due piani](images/4.png)

Due piani distinti, che si intersecano in un punto, hanno in comune una retta che passa per quel punto.

### Rette perpendicolari a un piano
![Perpendicolari](images/5.png)

* Se per un punto $P$ di una retta $\mathscr{s}$ si mandano due rette $\mathscr{a}$ e $\mathscr{b}$ perpendicolari a $\mathscr{s}$, allora $\mathscr{s}$ è perpendicolare a ogni altra retta $\mathscr{r}$ passante per $P$ e giacente sul piano delle rette $\mathscr{a}$ e $\mathscr{b}$.

* Le perpendicolari a una retta $\mathscr{s}$ condotte per un suo punto $P$ giacciono tutte nello stesso piano.

* Due rette perpendicolari a uno stesso piano sono parallele fra loro.

* Dati un piano $\alpha$ e un punto $P$, esiste ed è unica la retta $r$ passante per il punto e perpendicolare al piano.

* Se due piani sono perpendicolari a una stessa retta in punti distinti, allora sono paralleli.

* Le intersezioni tra un piano e due piani paralleli sono rette parallele.


## Teorema delle tre perpendicolari
![3 perpendicolari](images/6.png)

Se dal piede di una perpendicolare a un piano si manda la  a una qualunque retta del piano, quest’ultima risulta perpendicolare al piano delle prime due.


## Teorema di Talete nello spazio
![Talete](images/7.png)

Un fascio di piani paralleli intersecati da due trasversali intercetta su di esse segmenti corrispondenti proporzionali.



# Diedro
![Diedro](images/8.png)

Dati due semipiani aventi la stessa origine si chiama diedro ciascuna delle due parti di spazio tra essi comprese.

## Sezione di un diedro
![Sezione di diedro](images/9.png)

Si chiama sezione di un diedro l’angolo che si ottiene come intersezione fra il diedro e un qualunque piano non parallelo allo spigolo che interseca il suo spigolo.

* Sezioni parallele di uno stesso diedro sono congruenti.

* Due piani incidenti sono perpendicolari quando dividono lo spazio in quattro diedri retti.

* L’angolo di una retta $r$ con un piano $\alpha$ è l’angolo formato da $r$ e dalla sua proiezione $r'$ su $a$.



# Poliedri
![Poliedro](images/10.png)

Un poliedro è una figura solida, limitata da un numero finito di poligoni, appartenenti a piani diversi, tali che il piano di ogni poligono non attraversi il solido.

I poligoni che compongono un poliedro sono dette facce e diagonali i segmenti che congiungono due vertici su facce diverse.
Un poliedro ha almeno 4 facce.


## Prisma

### Prisma indefinito
![Prisma indfinito](images/11.png)

Dato un poligono e una retta $r$, non appartenente al poligono, si dice prisma indefinito l'insieme di rette parallele a $r$ passanti per il poligono.

### Prisma definito
![Prisma](images/12.png)

Si dice prisma definito la parte di un prisma indefinito compresa tra due piani paralleli.

### Prisma retto
![Prisma retto](images/13.png)

Un prisma si dice retto un prisma che ha gli spigoli laterali perpendicolari ai piani delle basi.

#### Formule:

* **superficie laterale**: $$A_l = 2ph$$
* **superficie totate**: $$A\_t = 2ph + 2A_b$$
* **volume**: $$V = A_b h$$


## Parallelepipedo
![Parallelepipedo](images/14.png)

Si dice parallelogramma un prisma le cui basi sono parallelogrammi.

### Proprietà
* Un parallelepipedo ha le facce opposto congruenti e parallele.
* Le diagonali di un parallelepipedo si scambiano scambievolmente a metà.

### Parallelepipedo rettangolo
![Parallelepipedo](images/15.png)

Si dice rettangolo un parallelepipedo che ha facce rettangolari.

#### Formule:

* **superficie laterale**: $$A_l = 2(a + b)c$$
* **superficie totale**: $$A_t = 2(ab + ac + bc)$$
* **volume**: $$V = abc$$

### Cubo
![Cubo](images/16.png)

Si dice cubo un parallelepipedo che ha facce quadrate tra loro congruenti.

#### Formule:

* **superficie totale**: $$A\_t = 6s^2$$
* **volume**: $$V = s^3$$


## Angoloide
![Angoloide](images/17.png)

Dato un poligono convesso e un punto $V$ si dice angoloide l'insieme delle semirette uscenti da $V$ e passanti per i punti del poligoni.

Le semirette passanti per i vertici del poligono sono dette spigoli, $V$ vertice, gli angoli di vertice $V$ e lati due spigoli consecutivi facce.
Un angoloide con 3 facce si dice triedro.

### Teoremi
* In un angoloide la somma degli angoli interni è minore dell'angolo giro.
* In un angoloide l'angolo di una faccia è minore della somma degli angoli delle altre facce.
* In un triedro l'angolo di una faccia è maggiore della differenza degli angoli delle altre facce.


## Piramide
![Piramide](images/18.png)

Si chiama piramide la parte di angoloide compresa tra il suo vertice ed un piano che lo interseca completamente.

### Teoremi
In una piramide retta le altezze delle facce laterali passano per i punti di tangenza dei lati di base con la circonferenze inscritta e sono tra loro congruenti.

### Piramide retta
![Piramide retta](images/19.png)

Una piramide si dice retta se la sua base è circoscritta in una circonferenza di centro la proiezione del vertice sul piano della base.

#### Formule:

* **superficie laterale**: $$A_l = p a$$
* **superficie totale**: $$A\_t = A_l + Ab + Ab'$$
* **volume**: $$V = \frac{1}{3}S h$$

### Piramide regolare
![Piramide regolare](images/20.png)

Una piramide retta si dice regolare quando la sua base è un poligono regolare.

### Tronco di piramide
![Tronco di piramide](images/21.png)

Si chiama tronco di piramide la parte di piramide compresa tra due piani piani paralleli che la intersecano completamente.

#### Formule:

* **superficie laterale**: $$A_l=(p+p')a$$
* **superficie totale**: $$A_l=p a+Ab$$
* **volume**: $$V=\frac{1}{3}h(S+s+\sqrt{Ss})$$


## Poliedri regolari
![Cubo](images/16.png)

Un poliedro si dice regolare quando le sue facce sono poligoni regolari congruenti e i suoi angoloidi e  diedri sono congruenti.


# Solidi di rotazione
I solidi di rotazione sono figure solide ottenute dalla rotazione completa di un poligono attorno ad una retta.

## Cilindro
![Cilndro](images/22.png)

Si dice cilindro il solido ottenuto dalla rotazione completa di un rettangolo attorno ad un suo lato.

#### Formule:

* **superficie laterale**: $$A_l=2\pi rh$$
* **superficie totale**: $$A_t=2\pi r(h+r)$$
* **volume**: $$V=\pi r^2 h$$

## Cono
![Cono](images/23.png)

Si dice cono il solido ottenuto dalla rotazione completa di un triangolo rettangolo attorno ad un suo cateto.

Il cateto attorno a cui ruota il triangolo è l’altezza del cono, l’altro cateto è il raggio di base.
L’ipotenusa è detta apotema del cono.

Un cono si dice equilatero se l’apotema è congruente al diametro della base.

#### Formule:

* **superficie laterale**: $$A_l=\pi ra$$
* **superficie totale**: $$A_t=\pi r(a+r)$$

In un cono, le misure delle aree del cerchio di base e del cerchio ottenuto da una sezione parallela al piano di base stanno tra loro come i quadrati delle misure delle loro distanze dal vertice.

## Sfera
![Sfera](images/24.png)

Si dice sfera il solido ottenuto dalla rotazione di angolo piatto di una circonferenza attorno ad un suo diametro.

#### Formule:

* **superficie totale**: $$A_t=4\pi r^2$$
* **volume**: $$V=\frac{4}{3}\pi r^3$$



# Equivalenza
Due solidi che hanno la stessa estensione sono equivalenti. L'equivalenza gode della proprietá riflessiva, simmetrica e transitiva.

## Postulato n. 1
Due solidi congruenti sono sempre equivalenti ma non è detto il contrario.

## Volume
Si dice volume di un solido la classe di equivalenza alla quale appartiene.

## Somma di solidi
La somma di due solidi non intersecati è il solido ottenuto con l'unione di tutti i punti di tali solidi.

## Postulato n. 2
Solidi ottenuti come somma di solidi congruenti sono tra loro equivalenti.

## Postulato di De Zolt
Un solido non può essere equivalente ad una sua parte.

Un solido $\mathscr{A}$ è maggiore di un solido $\mathscr{B}$, se $\mathscr{B}$ è equivalente a una parte di $\mathscr{A}$. In tal caso si può dire che $\mathscr{A}$ è prevalente a $\mathscr{A}$: $\mathscr{A} > \mathscr{B}$

## Legge di esclusione
Dati due solidi $\mathscr{A}$ e $\mathscr{B}$ qualunque, o $\mathscr{A} \doteq \mathscr{B}$ o $\mathscr{A} > \mathscr{B}$ o $\mathscr{A} < \mathscr{B}$.

## Equiscomponibilità
Due solidi di dicono equiscomponibili se è possibile dividerli in parti tra loro congruenti. Solidi equiscomponibili sono equivalenti.

## Principio di Cavalieri
![Principio di Cavalieri](images/25.png)

Se due solidi possono essere disposti in modo che vengano tagliati secondo sezioni equivalenti su ogni piano parallelo a un altro piano arbitrariamente fissato allora sono equivalenti.

## Equivalenza dei solidi

### Prismi
* Se due prismi hanno basi equivalenti e altezze congruenti allora sono equivalenti.
* Se un prisma e un cilindro hanno basi equivalenti e altezze congruenti allora sono equivalenti.

### Piramidi
* Se due piramidi hanno basi equivalenti e altezze congruenti allora sono equivalenti.
* Una piramide è equivalente alla terza parte di un prisma che abbia la stessa base e la stessa altezza.
* Una piramide e un cono che hanno basi equivalenti e altezze congruenti sono equivalenti.

### Anticlessidra
![Anticlessidra](images/26.png)

Si dice anticlessidra il solido ottenuto dalla differenza fra un cilindro equilatero circoscritto ad una sfera di centro $O$ e due coni di vertice $O$ di basi coincidenti con la base di tale cilindro.

Una sfera è equivalente alla sua anticlessidra.