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title: Geometria Solida
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# Lo spazio e la geometria solida
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# Postulati dello spazio
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## Postulato n. 1
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Per tre punti non allineati passa uno e un solo piano.
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## Postulato n. 2
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Fissati due punti in un piano, la retta passante per i due punti giace interamente sul piano.
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## Postulato di partizione dello spazio
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Un qualunque piano divide l’insieme dei punti dello spazio che non gli appartengono in due regioni dette semispazi con le seguenti proprietà:
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* due punti qualsiasi della stessa regione sono gli estremi di un segmento che non interseca il piano;
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* due punti qualsiasi di regioni diverse sono gli estremi di un segmento che interseca il piano. Il piano si dice origine dei semispazi.
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# Rette nello spazio
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### Posizione di due rette nello spazio
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Due rette che giacciono sullo stesso piano, si dicono complanari, altrimenti si dicono sghembe.
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### Posizione di due piani nello spazio
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Due piani distinti, che si intersecano in un punto, hanno in comune una retta che passa per quel punto.
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### Rette perpendicolari a un piano
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* Se per un punto $P$ di una retta $\mathscr{s}$ si mandano due rette $\mathscr{a}$ e $\mathscr{b}$ perpendicolari a $\mathscr{s}$, allora $\mathscr{s}$ è perpendicolare a ogni altra retta $\mathscr{r}$ passante per $P$ e giacente sul piano delle rette $\mathscr{a}$ e $\mathscr{b}$.
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* Le perpendicolari a una retta $\mathscr{s}$ condotte per un suo punto $P$ giacciono tutte nello stesso piano.
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* Due rette perpendicolari a uno stesso piano sono parallele fra loro.
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* Dati un piano $\alpha$ e un punto $P$, esiste ed è unica la retta $r$ passante per il punto e perpendicolare al piano.
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* Se due piani sono perpendicolari a una stessa retta in punti distinti, allora sono paralleli.
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* Le intersezioni tra un piano e due piani paralleli sono rette parallele.
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## Teorema delle tre perpendicolari
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Se dal piede di una perpendicolare a un piano si manda la perpendicolare a una qualunque retta del piano, quest'ultima risulta perpendicolare al piano delle prime due.
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### Dimostrazione
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Siano $\mathscr{r}$ la retta perpendicolare al piano $\alpha$ per $H$, $t$ una qualunque retta giacente su $\alpha$ non passante per $H$ e $\mathscr{s}$ la perpendicolare a $\mathscr{t}$ passante per $H$.
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Siano $S$ l'intersezione tra $\mathscr{t}$ e $\mathscr{s}$, $P$ e $Q$ due punti su $t$ tali che $PS \cong PQ$ e $T$ un punto qualunque su $\mathscr{r}$.
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Considero $\triangle HSQ$ e $\triangle HSP$. Essi hanno:
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* $HS$ in comune
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* $PS \cong PQ$ per costruzione
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* $HS \perp s$
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$\triangle HSQ \cong \triangle HSP$ per il 1° criterio di congruenza. In particolare hanno $HQ \cong HP$
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Considero $\triangle THQ$ e $\triangle THP$. Essi hanno:
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* $TH$ in comune
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* $PS \cong PQ$ per dimostrazione precedente
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* $T\widehat{H}Q \cong T\widehat{H}P$ perché retti
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$\triangle THQ \cong \triangle THP$ per il 1° criterio di congruenza. In particolare hanno $TQ \cong TP$
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Considero $\triangle TSQ$ e $\triangle TSP$. Essi hanno:
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* $TS$ in comune
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* $TQ \cong TP$ per dimostrazione precedente
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* $QS \cong SP$ perché retti
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$\triangle TSQ \cong \triangle TSP$ per il 3° criterio di congruenza. In particolare hanno $T\widehat{S}Q \cong T\widehat{S}P$.
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$T\widehat{S}Q \cong T\widehat{S}P \cong \widehat{R} \Rightarrow TS \perp s \Rightarrow s \perp \beta$
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## Teorema di Talete nello spazio
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Un fascio di piani paralleli intersecati da due trasversali intercetta su di esse segmenti corrispondenti proporzionali.
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# Diedro
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Dati due semipiani aventi la stessa origine si chiama diedro ciascuna delle due parti di spazio tra essi comprese.
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## Sezione di un diedro
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Si chiama sezione di un diedro l’angolo che si ottiene come intersezione fra il diedro e un qualunque piano non parallelo allo spigolo che interseca il suo spigolo.
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* Sezioni parallele di uno stesso diedro sono congruenti.
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* Due piani incidenti sono perpendicolari quando dividono lo spazio in quattro diedri retti.
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* L’angolo di una retta $r$ con un piano $\alpha$ è l’angolo formato da $r$ e dalla sua proiezione $r'$ su $a$.
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# Poliedri
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Un poliedro è una figura solida, limitata da un numero finito di poligoni, appartenenti a piani diversi, tali che il piano di ogni poligono non attraversi il solido.
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I poligoni che compongono un poliedro sono dette facce e diagonali i segmenti che congiungono due vertici su facce diverse.
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Un poliedro ha almeno 4 facce.
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## Prisma
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### Prisma indefinito
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Dato un poligono e una retta $r$, non appartenente al poligono, si dice prisma indefinito l'insieme di rette parallele a $r$ passanti per il poligono.
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### Prisma definito
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Si dice prisma definito la parte di un prisma indefinito compresa tra due piani paralleli.
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### Prisma retto
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Un prisma si dice retto un prisma che ha gli spigoli laterali perpendicolari ai piani delle basi.
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#### Formule:
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* **superficie laterale**: $$A_l = 2ph$$
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* **superficie totate**: $$A\_t = 2ph + 2A_b$$
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* **volume**: $$V = A_b h$$
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## Parallelepipedo
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Si dice parallelogramma un prisma le cui basi sono parallelogrammi.
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### Proprietà
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* Un parallelepipedo ha le facce opposto congruenti e parallele.
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* Le diagonali di un parallelepipedo si scambiano scambievolmente a metà.
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### Parallelepipedo rettangolo
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Si dice rettangolo un parallelepipedo che ha facce rettangolari.
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#### Formule:
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* **superficie laterale**: $$A_l = 2(a + b)c$$
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* **superficie totale**: $$A_t = 2(ab + ac + bc)$$
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* **volume**: $$V = abc$$
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### Cubo
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Si dice cubo un parallelepipedo che ha facce quadrate tra loro congruenti.
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#### Formule:
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* **superficie totale**: $$A\_t = 6s^2$$
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* **volume**: $$V = s^3$$
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## Angoloide
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Dato un poligono convesso e un punto $V$ si dice angoloide l'insieme delle semirette uscenti da $V$ e passanti per i punti del poligoni.
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Le semirette passanti per i vertici del poligono sono dette spigoli, $V$ vertice, gli angoli di vertice $V$ e lati due spigoli consecutivi facce.
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Un angoloide con 3 facce si dice triedro.
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### Teoremi
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* In un angoloide la somma degli angoli interni è minore dell'angolo giro.
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* In un angoloide l'angolo di una faccia è minore della somma degli angoli delle altre facce.
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* In un triedro l'angolo di una faccia è maggiore della differenza degli angoli delle altre facce.
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## Piramide
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Si chiama piramide la parte di angoloide compresa tra il suo vertice ed un piano che lo interseca completamente.
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### Teoremi
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In una piramide retta le altezze delle facce laterali passano per i punti di tangenza dei lati di base con la circonferenze inscritta e sono tra loro congruenti.
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### Piramide retta
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Una piramide si dice retta se la sua base è circoscritta in una circonferenza di centro la proiezione del vertice sul piano della base.
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#### Formule:
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* **superficie laterale**: $$A_l = p a$$
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* **superficie totale**: $$A\_t = A_l + Ab + Ab'$$
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* **volume**: $$V = \frac{1}{3}S h$$
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### Piramide regolare
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Una piramide retta si dice regolare quando la sua base è un poligono regolare.
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### Tronco di piramide
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Si chiama tronco di piramide la parte di piramide compresa tra due piani piani paralleli che la intersecano completamente.
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#### Formule:
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* **superficie laterale**: $$A_l=(p+p')a$$
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* **superficie totale**: $$A_l=p a+Ab$$
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* **volume**: $$V=\frac{1}{3}h(S+s+\sqrt{Ss})$$
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## Poliedri regolari
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Un poliedro si dice regolare quando le sue facce sono poligoni regolari congruenti e i suoi angoloidi e diedri sono congruenti.
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I poliedri regolari o solidi platonici sono 5: tetraedro, esaedro o cubo, ottaedro, dodecaedro e icosaedro.
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| poliedro | facce | vertici | spigoli | superficie | volume |
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|:-----------------------------------------------:|:-----:|:-------:|:-------:|:------------------------------------:|:------------------------------:|
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|  tetraedro | 4 | 4 | 6 | $s^2 \sqrt{3}$ | $\frac{1}{12}s^3\sqrt{2}$ |
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|  esaedro | 6 | 8 | 12 | $6s^2$ | $s^3$ |
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|  ottaedro | 8 | 6 | 12 | $2s^2 \sqrt{3}$ | $\frac{1}{3}s^3\sqrt{2}$ |
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|  dodecaedro | 12 | 20 | 30 | $15s^2 \sqrt{\frac{5+2\sqrt{5}}{5}}$ | $s^3 \frac{15+7\sqrt{15}}{4}$ |
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|  icosaedro | 20 | 12 | 30 | $s^2 5\sqrt{3}$ | $s^3 \frac{5(3+\sqrt{5})}{12}$ |
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# Solidi di rotazione
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I solidi di rotazione sono figure solide ottenute dalla rotazione completa di un poligono attorno ad una retta.
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## Cilindro
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Si dice cilindro il solido ottenuto dalla rotazione completa di un rettangolo attorno ad un suo lato.
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#### Formule:
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* **superficie laterale**: $$A_l=2\pi rh$$
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* **superficie totale**: $$A_t=2\pi r(h+r)$$
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* **volume**: $$V=\pi r^2 h$$
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## Cono
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Si dice cono il solido ottenuto dalla rotazione completa di un triangolo rettangolo attorno ad un suo cateto.
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Il cateto attorno a cui ruota il triangolo è l’altezza del cono, l’altro cateto è il raggio di base.
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L’ipotenusa è detta apotema del cono.
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Un cono si dice equilatero se l’apotema è congruente al diametro della base.
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#### Formule:
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* **superficie laterale**: $$A_l=\pi ra$$
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* **superficie totale**: $$A_t=\pi r(a+r)$$
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In un cono, le misure delle aree del cerchio di base e del cerchio ottenuto da una sezione parallela al piano di base stanno tra loro come i quadrati delle misure delle loro distanze dal vertice.
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## Sfera
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Si dice sfera il solido ottenuto dalla rotazione di angolo piatto di una circonferenza attorno ad un suo diametro.
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#### Formule:
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* **superficie totale**: $$A_t=4\pi r^2$$
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* **volume**: $$V=\frac{4}{3}\pi r^3$$
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# Equivalenza
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Due solidi che hanno la stessa estensione sono equivalenti. L'equivalenza gode della proprietá riflessiva, simmetrica e transitiva.
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## Postulato n. 1
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Due solidi congruenti sono sempre equivalenti ma non è detto il contrario.
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## Volume
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Si dice volume di un solido la classe di equivalenza alla quale appartiene.
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## Somma di solidi
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La somma di due solidi non intersecati è il solido ottenuto con l'unione di tutti i punti di tali solidi.
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## Postulato n. 2
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Solidi ottenuti come somma di solidi congruenti sono tra loro equivalenti.
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## Postulato di De Zolt
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Un solido non può essere equivalente ad una sua parte.
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Un solido $\mathscr{A}$ è maggiore di un solido $\mathscr{B}$, se $\mathscr{B}$ è equivalente a una parte di $\mathscr{A}$. In tal caso si può dire che $\mathscr{A}$ è prevalente a $\mathscr{A}$: $\mathscr{A} > \mathscr{B}$
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## Legge di esclusione
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Dati due solidi $\mathscr{A}$ e $\mathscr{B}$ qualunque, o $\mathscr{A} \doteq \mathscr{B}$ o $\mathscr{A} > \mathscr{B}$ o $\mathscr{A} < \mathscr{B}$.
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## Equiscomponibilità
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Due solidi di dicono equiscomponibili se è possibile dividerli in parti tra loro congruenti. Solidi equiscomponibili sono equivalenti.
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## Principio di Cavalieri
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Se due solidi possono essere disposti in modo che vengano tagliati secondo sezioni equivalenti su ogni piano parallelo a un altro piano arbitrariamente fissato allora sono equivalenti.
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## Equivalenza dei solidi
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### Prismi
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* Se due prismi hanno basi equivalenti e altezze congruenti allora sono equivalenti.
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* Se un prisma e un cilindro hanno basi equivalenti e altezze congruenti allora sono equivalenti.
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### Piramidi
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* Se due piramidi hanno basi equivalenti e altezze congruenti allora sono equivalenti.
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* Una piramide è equivalente alla terza parte di un prisma che abbia la stessa base e la stessa altezza.
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* Una piramide e un cono che hanno basi equivalenti e altezze congruenti sono equivalenti.
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### Anticlessidra
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Si dice anticlessidra il solido ottenuto dalla differenza fra un cilindro equilatero circoscritto ad una sfera di centro $O$ e due coni di vertice $O$ di basi coincidenti con la base di tale cilindro.
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**Teorema**
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Una sfera $\mathscr{S}$ è equivalente alla sua anticlessidra $\mathscr{A}$.
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**Dimostrazione**
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Sia $\alpha$ il piano della base del cilindro e $\alpha'$ un qualsiasi piano parallelo a $\alpha$.
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$\alpha'$ interseca il cilindro ad un'altezza $h$ da $O$, interseca il cono in $A$ e la sfera in $B$.
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Il triangolo $\triangle{OHA}$ è simile al triangolo generatore dei coni dell'anticlessidra per il teorema di Talete. Pertanto è un rettangolo isoscele $\Rightarrow \overline{AH} = h$.
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La sezione di cilindro sul piano $\alpha$' individua una corona circolare di raggio $r$ (raggio del cilindro) e raggio interno $\overline{OA}$, cioè $h$.
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La corona ha quindi area $A=\pi r^2-\pi h^2 = \pi(r^2-h^2)$
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Il triangolo $\triangle{OHB}$ è simile al triangolo generatore dei coni dell'anticlessidra per il teorema di Talete. Pertanto è un rettangolo. Per il teorema di Pitagora: $\overline{HB}^2 = \overline{OB}^2 - \overline{OH}^2 = r^2 - h^2$.
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La sezione di sfera sul piano $\alpha'$ individua un cerchio di raggio $HB$.
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L'area del cerchio è quindi: $A=\pi(r^2-h^2)$
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Il cerchio e la corona circolare sono equivalenti quindi per il principio di Cavalieri: $\mathscr{S} \doteq \mathscr{A}$
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### Scodella di Galileo
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Si dice scodella di Galileo il solido ottenuto dalla differenza fra un cilindro di altezza uguale al raggio di base circoscritto ad una semisfera di centro $O$ e la sfera stessa.
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**Teorema**
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La scodella di Galileo $\mathscr{S}$ è equivalente al cono $\mathscr{C}$ di vertice $O$ e di base congruente alla base della scodella.
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**Dimostrazione**
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Sia $\alpha$ un qualunque piano parallelo al piano della base $\pi$ che intersechi $\mathscr{S}$ e $\mathscr{C}$ formando un cerchio $S$ e una corona circolare $S_1$.
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Siano $A$ e $B$ gli estremi del diametro della base della scodella su $\pi$.
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Indicato con $\delta$ il piano per $A,B,O$, $\delta$ interseca $\alpha$ in $C$ e $N$.
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I punti in comune tra $\alpha, \delta$ e la semisfera sono $D$ e $M$ e quelli tra $\alpha, \delta$ e il cilindro sono $E$ e $Z$.
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Infine sia $H$ il piede della perpendicolare $\mathscr{t}$ condotta da $O$ ad $\alpha$ e K l'intersezione tra $\mathscr{t}$ e $\pi$.
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$OK \cong KB$ per definizione $\Rightarrow$ $\triangle KOB$ è rettangolo isoscele in $K$.
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$\triangle OHN \sim \triangle KOB$ in quanto hanno $\widehat{O}$ in comune e $HN \parallel KB \Rightarrow \triangle OHN$ è isoscele $\Rightarrow \overline{OH}=\overline{OK}$.
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Posto $h = \overline{OH}$, l'area del cerchio risulta $A_S=\pi h^2$
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Considero $\triangle OHM$ rettangolo: per il teorema di Pitagora: $\overline{HM}=\sqrt{\overline{OM}^2-\overline{HM}^2} = \sqrt{r^2-h^2}$ (l'ipotenusa è il raggio della semisfera)
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L'area della corona circolare è pertanto: $A_{S_1}=\pi\left(\overline{HZ}^2-\overline{HM}^2\right) = \pi [r^2 - (r^2 -h^2)] = \pi h^2$
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$S \equiv S_1$ per il principio di Cavalieri: $\mathscr{S} \doteq \mathscr{C}$
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