--- layout: main css: main title: Geometria Solida --- # Lo spazio e la geometria solida # Postulati dello spazio ## Postulato n. 1 ![Piano per 3 punti](images/1.png) Per tre punti non allineati passa uno e un solo piano. ## Postulato n. 2 ![Retta per un piano](images/2.png) Fissati due punti in un piano, la retta passante per i due punti giace interamente sul piano. ## Postulato di partizione dello spazio Un qualunque piano divide l’insieme dei punti dello spazio che non gli appartengono in due regioni dette semispazi con le seguenti proprietà: * due punti qualsiasi della stessa regione sono gli estremi di un segmento che non interseca il piano; * due punti qualsiasi di regioni diverse sono gli estremi di un segmento che interseca il piano. Il piano si dice origine dei semispazi. # Rette nello spazio ### Posizione di due rette nello spazio ![Rette e piani](images/3.png) Due rette che giacciono sullo stesso piano, si dicono complanari, altrimenti si dicono sghembe. ### Posizione di due piani nello spazio ![Due piani](images/4.png) Due piani distinti, che si intersecano in un punto, hanno in comune una retta che passa per quel punto. ### Rette perpendicolari a un piano ![Perpendicolari](images/5.png) * Se per un punto $P$ di una retta $\mathscr{s}$ si mandano due rette $\mathscr{a}$ e $\mathscr{b}$ perpendicolari a $\mathscr{s}$, allora $\mathscr{s}$ è perpendicolare a ogni altra retta $\mathscr{r}$ passante per $P$ e giacente sul piano delle rette $\mathscr{a}$ e $\mathscr{b}$. * Le perpendicolari a una retta $\mathscr{s}$ condotte per un suo punto $P$ giacciono tutte nello stesso piano. * Due rette perpendicolari a uno stesso piano sono parallele fra loro. * Dati un piano $\alpha$ e un punto $P$, esiste ed è unica la retta $r$ passante per il punto e perpendicolare al piano. * Se due piani sono perpendicolari a una stessa retta in punti distinti, allora sono paralleli. * Le intersezioni tra un piano e due piani paralleli sono rette parallele. ## Teorema delle tre perpendicolari ![3 perpendicolari](images/6.png) Se dal piede di una perpendicolare a un piano si manda la perpendicolare a una qualunque retta del piano, quest'ultima risulta perpendicolare al piano delle prime due. ### Dimostrazione Siano $\mathscr{r}$ la retta perpendicolare al piano $\alpha$ per $H$, $t$ una qualunque retta giacente su $\alpha$ non passante per $H$ e $\mathscr{s}$ la perpendicolare a $\mathscr{t}$ passante per $H$. Siano $S$ l'intersezione tra $\mathscr{t}$ e $\mathscr{s}$, $P$ e $Q$ due punti su $t$ tali che $PS \cong PQ$ e $T$ un punto qualunque su $\mathscr{r}$. Considero $\triangle HSQ$ e $\triangle HSP$. Essi hanno: * $HS$ in comune * $PS \cong PQ$ per costruzione * $HS \perp s$ $\triangle HSQ \cong \triangle HSP$ per il 1° criterio di congruenza. In particolare hanno $HQ \cong HP$ Considero $\triangle THQ$ e $\triangle THP$. Essi hanno: * $TH$ in comune * $PS \cong PQ$ per dimostrazione precedente * $T\widehat{H}Q \cong T\widehat{H}P$ perché retti $\triangle THQ \cong \triangle THP$ per il 1° criterio di congruenza. In particolare hanno $TQ \cong TP$ Considero $\triangle TSQ$ e $\triangle TSP$. Essi hanno: * $TS$ in comune * $TQ \cong TP$ per dimostrazione precedente * $QS \cong SP$ perché retti $\triangle TSQ \cong \triangle TSP$ per il 3° criterio di congruenza. In particolare hanno $T\widehat{S}Q \cong T\widehat{S}P$. $T\widehat{S}Q \cong T\widehat{S}P \cong \widehat{R} \Rightarrow TS \perp s \Rightarrow s \perp \beta$ ## Teorema di Talete nello spazio ![Talete](images/7.png) Un fascio di piani paralleli intersecati da due trasversali intercetta su di esse segmenti corrispondenti proporzionali. # Diedro ![Diedro](images/8.png) Dati due semipiani aventi la stessa origine si chiama diedro ciascuna delle due parti di spazio tra essi comprese. ## Sezione di un diedro ![Sezione di diedro](images/9.png) Si chiama sezione di un diedro l’angolo che si ottiene come intersezione fra il diedro e un qualunque piano non parallelo allo spigolo che interseca il suo spigolo. * Sezioni parallele di uno stesso diedro sono congruenti. * Due piani incidenti sono perpendicolari quando dividono lo spazio in quattro diedri retti. * L’angolo di una retta $r$ con un piano $\alpha$ è l’angolo formato da $r$ e dalla sua proiezione $r'$ su $a$. # Poliedri ![Poliedro](images/10.png) Un poliedro è una figura solida, limitata da un numero finito di poligoni, appartenenti a piani diversi, tali che il piano di ogni poligono non attraversi il solido. I poligoni che compongono un poliedro sono dette facce e diagonali i segmenti che congiungono due vertici su facce diverse. Un poliedro ha almeno 4 facce. ## Prisma ### Prisma indefinito ![Prisma indfinito](images/11.png) Dato un poligono e una retta $r$, non appartenente al poligono, si dice prisma indefinito l'insieme di rette parallele a $r$ passanti per il poligono. ### Prisma definito ![Prisma](images/12.png) Si dice prisma definito la parte di un prisma indefinito compresa tra due piani paralleli. ### Prisma retto ![Prisma retto](images/13.png) Un prisma si dice retto un prisma che ha gli spigoli laterali perpendicolari ai piani delle basi. #### Formule: * **superficie laterale**: $$A_l = 2ph$$ * **superficie totate**: $$A\_t = 2ph + 2A_b$$ * **volume**: $$V = A_b h$$ ## Parallelepipedo ![Parallelepipedo](images/14.png) Si dice parallelogramma un prisma le cui basi sono parallelogrammi. ### Proprietà * Un parallelepipedo ha le facce opposto congruenti e parallele. * Le diagonali di un parallelepipedo si scambiano scambievolmente a metà. ### Parallelepipedo rettangolo ![Parallelepipedo](images/15.png) Si dice rettangolo un parallelepipedo che ha facce rettangolari. #### Formule: * **superficie laterale**: $$A_l = 2(a + b)c$$ * **superficie totale**: $$A_t = 2(ab + ac + bc)$$ * **volume**: $$V = abc$$ ### Cubo ![Cubo](images/16.png) Si dice cubo un parallelepipedo che ha facce quadrate tra loro congruenti. #### Formule: * **superficie totale**: $$A\_t = 6s^2$$ * **volume**: $$V = s^3$$ ## Angoloide ![Angoloide](images/17.png) Dato un poligono convesso e un punto $V$ si dice angoloide l'insieme delle semirette uscenti da $V$ e passanti per i punti del poligoni. Le semirette passanti per i vertici del poligono sono dette spigoli, $V$ vertice, gli angoli di vertice $V$ e lati due spigoli consecutivi facce. Un angoloide con 3 facce si dice triedro. ### Teoremi * In un angoloide la somma degli angoli interni è minore dell'angolo giro. * In un angoloide l'angolo di una faccia è minore della somma degli angoli delle altre facce. * In un triedro l'angolo di una faccia è maggiore della differenza degli angoli delle altre facce. ## Piramide ![Piramide](images/18.png) Si chiama piramide la parte di angoloide compresa tra il suo vertice ed un piano che lo interseca completamente. ### Teoremi In una piramide retta le altezze delle facce laterali passano per i punti di tangenza dei lati di base con la circonferenze inscritta e sono tra loro congruenti. ### Piramide retta ![Piramide retta](images/19.png) Una piramide si dice retta se la sua base è circoscritta in una circonferenza di centro la proiezione del vertice sul piano della base. #### Formule: * **superficie laterale**: $$A_l = p a$$ * **superficie totale**: $$A\_t = A_l + Ab + Ab'$$ * **volume**: $$V = \frac{1}{3}S h$$ ### Piramide regolare ![Piramide regolare](images/20.png) Una piramide retta si dice regolare quando la sua base è un poligono regolare. ### Tronco di piramide ![Tronco di piramide](images/21.png) Si chiama tronco di piramide la parte di piramide compresa tra due piani piani paralleli che la intersecano completamente. #### Formule: * **superficie laterale**: $$A_l=(p+p')a$$ * **superficie totale**: $$A_l=p a+Ab$$ * **volume**: $$V=\frac{1}{3}h(S+s+\sqrt{Ss})$$ ## Poliedri regolari ![Cubo](images/16.png) Un poliedro si dice regolare quando le sue facce sono poligoni regolari congruenti e i suoi angoloidi e diedri sono congruenti. I poliedri regolari o solidi platonici sono 5: tetraedro, esaedro o cubo, ottaedro, dodecaedro e icosaedro. | poliedro | facce | vertici | spigoli | superficie | volume | |:-----------------------------------------------:|:-----:|:-------:|:-------:|:------------------------------------:|:------------------------------:| | ![tetraedro](images/tetraedro.png) tetraedro | 4 | 4 | 6 | $s^2 \sqrt{3}$ | $\frac{1}{12}s^3\sqrt{2}$ | | ![esaedro](images/esaedro.png) esaedro | 6 | 8 | 12 | $6s^2$ | $s^3$ | | ![ottaedro](images/ottaedro.png) ottaedro | 8 | 6 | 12 | $2s^2 \sqrt{3}$ | $\frac{1}{3}s^3\sqrt{2}$ | | ![dodecaedro](images/dodecaedro.png) dodecaedro | 12 | 20 | 30 | $15s^2 \sqrt{\frac{5+2\sqrt{5}}{5}}$ | $s^3 \frac{15+7\sqrt{15}}{4}$ | | ![icosaedro](images/icosaedro.png) icosaedro | 20 | 12 | 30 | $s^2 5\sqrt{3}$ | $s^3 \frac{5(3+\sqrt{5})}{12}$ | # Solidi di rotazione I solidi di rotazione sono figure solide ottenute dalla rotazione completa di un poligono attorno ad una retta. ## Cilindro ![Cilndro](images/22.png) Si dice cilindro il solido ottenuto dalla rotazione completa di un rettangolo attorno ad un suo lato. #### Formule: * **superficie laterale**: $$A_l=2\pi rh$$ * **superficie totale**: $$A_t=2\pi r(h+r)$$ * **volume**: $$V=\pi r^2 h$$ ## Cono ![Cono](images/23.png) Si dice cono il solido ottenuto dalla rotazione completa di un triangolo rettangolo attorno ad un suo cateto. Il cateto attorno a cui ruota il triangolo è l’altezza del cono, l’altro cateto è il raggio di base. L’ipotenusa è detta apotema del cono. Un cono si dice equilatero se l’apotema è congruente al diametro della base. #### Formule: * **superficie laterale**: $$A_l=\pi ra$$ * **superficie totale**: $$A_t=\pi r(a+r)$$ In un cono, le misure delle aree del cerchio di base e del cerchio ottenuto da una sezione parallela al piano di base stanno tra loro come i quadrati delle misure delle loro distanze dal vertice. ## Sfera ![Sfera](images/24.png) Si dice sfera il solido ottenuto dalla rotazione di angolo piatto di una circonferenza attorno ad un suo diametro. #### Formule: * **superficie totale**: $$A_t=4\pi r^2$$ * **volume**: $$V=\frac{4}{3}\pi r^3$$ # Equivalenza Due solidi che hanno la stessa estensione sono equivalenti. L'equivalenza gode della proprietá riflessiva, simmetrica e transitiva. ## Postulato n. 1 Due solidi congruenti sono sempre equivalenti ma non è detto il contrario. ## Volume Si dice volume di un solido la classe di equivalenza alla quale appartiene. ## Somma di solidi La somma di due solidi non intersecati è il solido ottenuto con l'unione di tutti i punti di tali solidi. ## Postulato n. 2 Solidi ottenuti come somma di solidi congruenti sono tra loro equivalenti. ## Postulato di De Zolt Un solido non può essere equivalente ad una sua parte. Un solido $\mathscr{A}$ è maggiore di un solido $\mathscr{B}$, se $\mathscr{B}$ è equivalente a una parte di $\mathscr{A}$. In tal caso si può dire che $\mathscr{A}$ è prevalente a $\mathscr{A}$: $\mathscr{A} > \mathscr{B}$ ## Legge di esclusione Dati due solidi $\mathscr{A}$ e $\mathscr{B}$ qualunque, o $\mathscr{A} \doteq \mathscr{B}$ o $\mathscr{A} > \mathscr{B}$ o $\mathscr{A} < \mathscr{B}$. ## Equiscomponibilità Due solidi di dicono equiscomponibili se è possibile dividerli in parti tra loro congruenti. Solidi equiscomponibili sono equivalenti. ## Principio di Cavalieri ![Principio di Cavalieri](images/25.png) Se due solidi possono essere disposti in modo che vengano tagliati secondo sezioni equivalenti su ogni piano parallelo a un altro piano arbitrariamente fissato allora sono equivalenti. ## Equivalenza dei solidi ### Prismi * Se due prismi hanno basi equivalenti e altezze congruenti allora sono equivalenti. * Se un prisma e un cilindro hanno basi equivalenti e altezze congruenti allora sono equivalenti. ### Piramidi * Se due piramidi hanno basi equivalenti e altezze congruenti allora sono equivalenti. * Una piramide è equivalente alla terza parte di un prisma che abbia la stessa base e la stessa altezza. * Una piramide e un cono che hanno basi equivalenti e altezze congruenti sono equivalenti. ### Anticlessidra ![Anticlessidra](images/26.png) Si dice anticlessidra il solido ottenuto dalla differenza fra un cilindro equilatero circoscritto ad una sfera di centro $O$ e due coni di vertice $O$ di basi coincidenti con la base di tale cilindro. **Teorema** Una sfera $\mathscr{S}$ è equivalente alla sua anticlessidra $\mathscr{A}$. **Dimostrazione** Sia $\alpha$ il piano della base del cilindro e $\alpha'$ un qualsiasi piano parallelo a $\alpha$. $\alpha'$ interseca il cilindro ad un'altezza $h$ da $O$, interseca il cono in $A$ e la sfera in $B$. Il triangolo $\triangle{OHA}$ è simile al triangolo generatore dei coni dell'anticlessidra per il teorema di Talete. Pertanto è un rettangolo isoscele $\Rightarrow \overline{AH} = h$. La sezione di cilindro sul piano $\alpha$' individua una corona circolare di raggio $r$ (raggio del cilindro) e raggio interno $\overline{OA}$, cioè $h$. La corona ha quindi area $A=\pi r^2-\pi h^2 = \pi(r^2-h^2)$ Il triangolo $\triangle{OHB}$ è simile al triangolo generatore dei coni dell'anticlessidra per il teorema di Talete. Pertanto è un rettangolo. Per il teorema di Pitagora: $\overline{HB}^2 = \overline{OB}^2 - \overline{OH}^2 = r^2 - h^2$. La sezione di sfera sul piano $\alpha'$ individua un cerchio di raggio $HB$. L'area del cerchio è quindi: $A=\pi(r^2-h^2)$ Il cerchio e la corona circolare sono equivalenti quindi per il principio di Cavalieri: $\mathscr{S} \doteq \mathscr{A}$ ### Scodella di Galileo ![Scodella di galileo](images/27.png) Si dice scodella di Galileo il solido ottenuto dalla differenza fra un cilindro di altezza uguale al raggio di base circoscritto ad una semisfera di centro $O$ e la sfera stessa. **Teorema** ![Scodella di Galileo sezioneta](images/28.png) La scodella di Galileo $\mathscr{S}$ è equivalente al cono $\mathscr{C}$ di vertice $O$ e di base congruente alla base della scodella. **Dimostrazione** Sia $\alpha$ un qualunque piano parallelo al piano della base $\pi$ che intersechi $\mathscr{S}$ e $\mathscr{C}$ formando un cerchio $S$ e una corona circolare $S_1$. Siano $A$ e $B$ gli estremi del diametro della base della scodella su $\pi$. Indicato con $\delta$ il piano per $A,B,O$, $\delta$ interseca $\alpha$ in $C$ e $N$. I punti in comune tra $\alpha, \delta$ e la semisfera sono $D$ e $M$ e quelli tra $\alpha, \delta$ e il cilindro sono $E$ e $Z$. Infine sia $H$ il piede della perpendicolare $\mathscr{t}$ condotta da $O$ ad $\alpha$ e K l'intersezione tra $\mathscr{t}$ e $\pi$. $OK \cong KB$ per definizione $\Rightarrow$ $\triangle KOB$ è rettangolo isoscele in $K$. $\triangle OHN \sim \triangle KOB$ in quanto hanno $\widehat{O}$ in comune e $HN \parallel KB \Rightarrow \triangle OHN$ è isoscele $\Rightarrow \overline{OH}=\overline{OK}$. Posto $h = \overline{OH}$, l'area del cerchio risulta $A_S=\pi h^2$ Considero $\triangle OHM$ rettangolo: per il teorema di Pitagora: $\overline{HM}=\sqrt{\overline{OM}^2-\overline{HM}^2} = \sqrt{r^2-h^2}$ (l'ipotenusa è il raggio della semisfera) L'area della corona circolare è pertanto: $A_{S_1}=\pi\left(\overline{HZ}^2-\overline{HM}^2\right) = \pi [r^2 - (r^2 -h^2)] = \pi h^2$ $S \equiv S_1$ per il principio di Cavalieri: $\mathscr{S} \doteq \mathscr{C}$