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title: Geometria Solida
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# Postulati dello spazio
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## Postulato n. 1
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Per tre punti non allineati passa uno e un solo piano.
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## Postulato n. 2
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Fissati due punti in un piano, la retta passante per i due punti giace interamente sul piano.
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## Postulato di partizione dello spazio
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Un qualunque piano divide l’insieme dei punti dello spazio che non gli appartengono in due regioni dette semispazi con le seguenti proprietà:
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* due punti qualsiasi della stessa regione sono gli estremi di un segmento che non interseca il piano;
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* due punti qualsiasi di regioni diverse sono gli estremi di un segmento che interseca il piano. Il piano si dice origine dei semispazi.
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# Rette nello spazio
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### Posizione di due rette nello spazio
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Due rette che giacciono sullo stesso piano, si dicono complanari, altrimenti si dicono sghembe.
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### Posizione di due piani nello spazio
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Due piani distinti, che si intersecano in un punto, hanno in comune una retta che passa per quel punto.
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### Rette perpendicolari a un piano
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* Se per un punto P di una retta s si mandano due rette a e b perpendicolari a s, allora s è perpendicolare a ogni altra retta r passante per P e giacente sul piano delle rette a e b.
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* Le perpendicolari a una retta s condotte per un suo punto P giacciono tutte nello stesso piano.
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* Due rette perpendicolari a uno stesso piano sono parallele fra loro.
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* Dati un piano a e un punto P, esiste ed è unica la retta r passante per il punto e perpendicolare al piano.
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* Se due piani sono perpendicolari a una stessa retta in punti distinti, allora sono paralleli.
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* Le intersezioni tra un piano e due piani paralleli sono rette parallele.
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## Teorema delle tre perpendicolari
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Se dal piede di una perpendicolare a un piano si manda la a una qualunque retta del piano, quest’ultima risulta perpendicolare al piano delle prime due.
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## Teorema di Talete nello spazio
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Un fascio di piani paralleli intersecati da due trasversali intercetta su di esse segmenti corrispondenti proporzionali.
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# Diedro
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Dati due semipiani aventi la stessa origine si chiama diedro ciascuna delle due parti di spazio tra essi comprese.
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## Sezione di un diedro
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Si chiama sezione di un diedro l’angolo che si ottiene come intersezione fra il diedro e un qualunque piano non parallelo allo spigolo che interseca il suo spigolo.
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* Sezioni parallele di uno stesso diedro sono congruenti.
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* Piani perpendicolari Due piani incidenti sono perpendicolari quando dividono lo spazio in quattro diedri retti.
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* Angolo di una retta con un piano L’angolo di una retta r con un piano a è l’angolo formato da r e dalla sua proiezione r l su a.
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# Poliedri
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Un poliedrio è una figura solida, limitata da un numero finito di poligoni, appartenenti a piani diversi, tali che il piano di ogni poligono non attraversi il solido.
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I poligoni che compongono un poliedro sono dette facce e diagonali i segmenti che congiungono due vertici su facce diverse.
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Un poligono ha almeno 4 facce.
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## Prisma
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### Prisma indefinito
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Dato un poligono e una retta r, non appartenente al poligono, si dice prisma indefinito l'insieme di rette parallele a r passanti per il poligono.
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### Prisma definito
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Si dice prisma definito la parte di un prisma indefinito compresa tra due piani paralleli.
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### Prisma retto
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Un prisma si dice retto un prisma che ha gli spigoli laterali perpendicolari ai piani delle basi.
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**Formule**:
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* **superficie laterale**: Al = 2p • h
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* **superficie totate**: At = 2p • h + 2Ab
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* **volume**: At = 2p • h + 2Ab
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## Parallelepipedo
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Si dice parallelogramma un prisma le cui basi sono parallelogrammi.
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### Proprietà
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* Un parallelepipedo ha le facce opposto congruenti e parallele.
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* Le diagonali di un parallelepipedo si scambiano scambievolmente a metà.
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### Parallelepipedo rettangolo
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Si dice rettangolo un parallelepipedo che ha facce rettangolari.
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**Formule**:
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* **superficie laterale**: Al = 2(a + b) • c
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* **superficie totale**: At = 2(ab + ac + bc)
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* **volume**: V = a • b • c
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### Cubo
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Si dice cubo un parallelepipedo che ha facce quadrate tra loro congruenti.
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**Formule**:
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* **superficie totale**: At = 6s²
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* **volume**: V = s³
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## Angoloide
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Dato un poligono convesso e un punto V si dice angoloide l'insieme delle semirette uscenti da V e passanti per i punti del poligoni.
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Le semirette passanti per i vertici del poligono sono dette spigoli, v vertice, gli angoli di vertice V e lati due spigoli consecutivi facce.
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Un angoloide con 3 facce si dice triedro.
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### Teoremi
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* In un angoloide la somma degli angoli interni è minore dell'angolo giro.
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* In un angoloide l'angolo di una faccia è minore della somma degli angoli delle altre facce.
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* In un triedro l'angolo di una faccia è maggiore della differenza degli angoli delle altre facce.
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## Piramide
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Si chiama piramide la parte di angoloide compresa tra il suo vertice ed un piano che lo interseca completamente.
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### Teoremi
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In una piramide retta le altezze delle facce laterali passano per i punti di tangenza dei lati di base con la circonferenze inscritta e sono tra loro congruenti.
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### Piramide retta
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Una piramide si dice retta se la sua base è circoscritta in una circonferenza di centro la proiezione del vertice sul piano della base.
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**Formule**:
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* **superficie laterale**: Al = p • a
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* **superficie totale**: At = Al + Ab + Ab'
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* **volume**: V = 1/3 • S • h
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### Piramide regolare
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Una piramide retta si dice regolare quando la sua base è un poligono regolare.
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### Tronco di piramide
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Si chiama tronco di piramide la parte di piramide compresa tra due piani piani paralleli che la intersecano completamente.
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**Formule**:
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* **superficie laterale**: Al = (p + p') • a
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* **superficie totale**: Al = p • a + Ab
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* **volume**: V = 1/3 • h • (S + s + √Ss)
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## Poliedri regolari
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Un poliedro si dice regolare quando le sue facce sono poligoni regolari congruenti e i suoi angoloidi e diedri sono congruenti.
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# Solidi di rotazione
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I solidi di rotazione sono figure solide ottenute dalla rotazione completa di un poligono attorno ad una retta.
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## Cilindro
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Si dice cilindro il solido ottenuto dalla rotazione completa di un rettangolo attorno ad un suo lato.
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**Formule**:
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* **superficie laterale**: Al = 2π • r • h
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* **superficie totale**: At = 2πr • (h + r)
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* **volume**: V = π • r² • h
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## Cono
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Si dice cono il solido ottenuto dalla rotazione completa di un triangolo rettangolo attorno ad un suo cateto.
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Il cateto attorno a cui ruota il triangolo è l’altezza del cono, l’altro cateto è il raggio di base.
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L’ipotenusa è detta apotema del cono.
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Un cono si dice equilatero se l’apotema è congruente al diametro della base.
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**Formule**:
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* **superficie laterale**: Al = π • r • a.
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* **superficie totale**: At = π • r • (a + r)
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In un cono, le misure delle aree del cerchio di base e del cerchio ottenuto da una sezione parallela al piano di base stanno tra loro come i quadrati delle misure delle loro distanze dal vertice.
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## Sfera
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Si dice sfera il solido ottenuto dalla rotazione di angolo piatto di una circonferenza attorno ad un suo diametro.
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**Formule**:
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* **superficie totale**: At = 4π • r²
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* **volume**: V = 4/3 • π • r³
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