rnhmjoj/geometria-solida
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@ -3,21 +3,22 @@ layout: main
css: main
title: Geometria Solida
---
# Lo spazio e la geometria solida
# Lo spazio e la geometria solida
# Postulati dello spazio
## Postulato n. 1
![](images/1.png)
![Piano per 3 punti](images/1.png)
Per tre punti non allineati passa uno e un solo piano.
## Postulato n. 2
![](images/2.png)
![Retta per un piano](images/2.png)
Fissati due punti in un piano, la retta passante per i due punti giace interamente sul piano.
## Postulato di partizione dello spazio
Un qualunque piano divide l’insieme dei punti dello spazio che non gli appartengono in due regioni dette semispazi con le seguenti proprietà:
@ -29,17 +30,17 @@ Un qualunque piano divide l’insieme dei punti dello spazio che non gli apparte
# Rette nello spazio
### Posizione di due rette nello spazio
![](images/3.png)
![Rette e piani](images/3.png)
Due rette che giacciono sullo stesso piano, si dicono complanari, altrimenti si dicono sghembe.
### Posizione di due piani nello spazio
![](images/4.png)
![Due piani](images/4.png)
Due piani distinti, che si intersecano in un punto, hanno in comune una retta che passa per quel punto.
### Rette perpendicolari a un piano
![](images/5.png)
![Perpendicolari](images/5.png)
* Se per un punto P di una retta s si mandano due rette a e b perpendicolari a s, allora s è perpendicolare a ogni altra retta r passante per P e giacente sul piano delle rette a e b.
@ -55,40 +56,41 @@ Due piani distinti, che si intersecano in un punto, hanno in comune una retta ch
## Teorema delle tre perpendicolari
![](images/6.png)
![3 perpendicolari](images/6.png)
Se dal piede di una perpendicolare a un piano si manda la a una qualunque retta del piano, quest’ultima risulta perpendicolare al piano delle prime due.
## Teorema di Talete nello spazio
![](images/7.png)
![Talete](images/7.png)
Un fascio di piani paralleli intersecati da due trasversali intercetta su di esse segmenti corrispondenti proporzionali.
# Diedro
![](images/8.png)
![Diedro](images/8.png)
Dati due semipiani aventi la stessa origine si chiama diedro ciascuna delle due parti di spazio tra essi comprese.
## Sezione di un diedro
![](images/9.png)
![Sezione di diedro](images/9.png)
Si chiama sezione di un diedro l’angolo che si ottiene come intersezione fra il diedro e un qualunque piano non parallelo allo spigolo che interseca il suo spigolo.
* Sezioni parallele di uno stesso diedro sono congruenti.
* Piani perpendicolari Due piani incidenti sono perpendicolari quando dividono lo spazio in quattro diedri retti.
* Due piani incidenti sono perpendicolari quando dividono lo spazio in quattro diedri retti.
* Angolo di una retta con un piano L’angolo di una retta r con un piano a è l’angolo formato da r e dalla sua proiezione r l su a.
* L’angolo di una retta r con un piano a è l’angolo formato da r e dalla sua proiezione r' su a.
# Poliedri
![](images/10.png)
![Poliedro](images/10.png)
Un poliedro è una figura solida, limitata da un numero finito di poligoni, appartenenti a piani diversi, tali che il piano di ogni poligono non attraversi il solido.
I poligoni che compongono un poliedro sono dette facce e diagonali i segmenti che congiungono due vertici su facce diverse.
Un poliedro ha almeno 4 facce.
@ -96,22 +98,21 @@ Un poliedro ha almeno 4 facce.
## Prisma
### Prisma indefinito
![](images/11.png)
![Prisma indfinito](images/11.png)
Dato un poligono e una retta r, non appartenente al poligono, si dice prisma indefinito l'insieme di rette parallele a r passanti per il poligono.
### Prisma definito
![](images/12.png)
![Prisma](images/12.png)
Si dice prisma definito la parte di un prisma indefinito compresa tra due piani paralleli.
### Prisma retto
![](images/13.png)
![Prisma retto](images/13.png)
Un prisma si dice retto un prisma che ha gli spigoli laterali perpendicolari ai piani delle basi.
**Formule**:
#### Formule:
* **superficie laterale**: $$A_l = 2ph$$
* **superficie totate**: $$A\_t = 2ph + 2A_b$$
@ -119,7 +120,7 @@ Un prisma si dice retto un prisma che ha gli spigoli laterali perpendicolari ai
## Parallelepipedo
![](images/14.png)
![Parallelepipedo](images/14.png)
Si dice parallelogramma un prisma le cui basi sono parallelogrammi.
@ -128,30 +129,29 @@ Si dice parallelogramma un prisma le cui basi sono parallelogrammi.
* Le diagonali di un parallelepipedo si scambiano scambievolmente a metà.
### Parallelepipedo rettangolo
![](images/15.png)
![Parallelepipedo](images/15.png)
Si dice rettangolo un parallelepipedo che ha facce rettangolari.
**Formule**:
#### Formule:
* **superficie laterale**: $$A_l = 2(a + b)c$$
* **superficie totale**: $$A_t = 2(ab + ac + bc)$$
* **volume**: $$V = abc$$
### Cubo
![](images/16.png)
![Cubo](images/16.png)
Si dice cubo un parallelepipedo che ha facce quadrate tra loro congruenti.
**Formule**:
#### Formule:
* **superficie totale**: $$A\_t = 6s^2$$
* **volume**: $$V = s^3$$
## Angoloide
![](images/17.png)
![Angoloide](images/17.png)
Dato un poligono convesso e un punto V si dice angoloide l'insieme delle semirette uscenti da V e passanti per i punti del poligoni.
Le semirette passanti per i vertici del poligono sono dette spigoli, v vertice, gli angoli di vertice V e lati due spigoli consecutivi facce.
@ -164,45 +164,43 @@ Un angoloide con 3 facce si dice triedro.
## Piramide
![](images/18.png)
![Piramide](images/18.png)
Si chiama piramide la parte di angoloide compresa tra il suo vertice ed un piano che lo interseca completamente.
### Teoremi
In una piramide retta le altezze delle facce laterali passano per i punti di tangenza dei lati di base con la circonferenze inscritta e sono tra loro congruenti.
### Piramide retta
![](images/19.png)
![Piramide retta](images/19.png)
Una piramide si dice retta se la sua base è circoscritta in una circonferenza di centro la proiezione del vertice sul piano della base.
**Formule**:
#### Formule:
* **superficie laterale**: $$A_l = p a$$
* **superficie totale**: $$A\_t = A_l + Ab + Ab'$$
* **volume**: $$V = \frac{1}{3}S h$$
### Piramide regolare
![](images/20.png)
![Piramide regolare](images/20.png)
Una piramide retta si dice regolare quando la sua base è un poligono regolare.
### Tronco di piramide
![](images/21.png)
![Tronco di piramide](images/21.png)
Si chiama tronco di piramide la parte di piramide compresa tra due piani piani paralleli che la intersecano completamente.
**Formule**:
#### Formule:
* **superficie laterale**: $$A_l=(p+p')a$$
* **superficie totale**: $$A_l=p a+Ab$$
* **volume**: $$V=\frac{1}{3}h(S+s+\sqrt{Ss})$$
## Poliedri regolari
![](images/16.png)
![Cubo](images/16.png)
Un poliedro si dice regolare quando le sue facce sono poligoni regolari congruenti e i suoi angoloidi e diedri sono congruenti.
@ -211,27 +209,25 @@ Un poliedro si dice regolare quando le sue facce sono poligoni regolari congruen
I solidi di rotazione sono figure solide ottenute dalla rotazione completa di un poligono attorno ad una retta.
## Cilindro
![](images/22.png)
![Cilndro](images/22.png)
Si dice cilindro il solido ottenuto dalla rotazione completa di un rettangolo attorno ad un suo lato.
**Formule**:
#### Formule:
* **superficie laterale**: $$A_l=2\pi rh$$
* **superficie totale**: $$A_t=2\pi r(h+r)$$
* **volume**: $$V=\pi r^2 h$$
## Cono
![](images/23.png)
![Cono](images/23.png)
Si dice cono il solido ottenuto dalla rotazione completa di un triangolo rettangolo attorno ad un suo cateto.
Il cateto attorno a cui ruota il triangolo è l’altezza del cono, l’altro cateto è il raggio di base.
L’ipotenusa è detta apotema del cono.
Un cono si dice equilatero se l’apotema è congruente al diametro della base.
**Formule**:
#### Formule:
* **superficie laterale**: $$A_l=\pi ra$$
* **superficie totale**: $$A_t=\pi r(a+r)$$
@ -239,12 +235,11 @@ Un cono si dice equilatero se l’apotema è congruente al diametro della base.
In un cono, le misure delle aree del cerchio di base e del cerchio ottenuto da una sezione parallela al piano di base stanno tra loro come i quadrati delle misure delle loro distanze dal vertice.
## Sfera
![](images/24.png)
![Sfera](images/24.png)
Si dice sfera il solido ottenuto dalla rotazione di angolo piatto di una circonferenza attorno ad un suo diametro.
**Formule**:
#### Formule:
* **superficie totale**: $$A_t=4\pi r^2$$
* **volume**: $$V=\frac{4}{3}\pi r^3$$