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2020-07-05 11:35:31 +02:00

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Probabilità

Concetto di probabilità

Consideriamo un insieme S di eventi detto "spazio campionario" e due eventi casuali A e B. Essi sono soggetti agli assiomi di Kolmogorov:

\forall A \subseteq S, 0 \leqslant P(A) \leqslant 1
P(S) = 1
A \cap B = \varnothing \Longrightarrow P(A \cup B) = P(A) + P(B)

Si definisce probabilità condizionata di A dato B:


  P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

Se due eventi sono indipendenti, allora vale che:


  P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \Longrightarrow
  P(A|B) = \frac{P(A) \cdot P(B)}{P(B)} = P(A)

Esistono diversi approcci per definire la probabilità:

approccio frequentista:
```
  P(A) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\#A}{n}
```
ma c'è il problema che è impossibile fare un numero infinito di tentativi.
approccio bayesiano:
utilizzare il teorema di Bayes, per esempio:
```
  P(\text{teoria|dati}) \propto P(\text{dati|teoria}) \cdot P(\text{teoria})
```
si tratta quindi di un approccio "soggettivo", almeno per l'ultimo termine dell'equazione qua sopra, perché la probabilità della validità della teoria può essere data sulla base di ragionamenti e osservazioni riguardanti il fenomeno di cui si sta parlando.

\begin{tikzpicture} \draw [thick, pink] (0,0) -- (1,0); \draw [red] (1.5,0) circle [radius=0.1]; \draw [thick, pink] (2,0) -- (3,0); \draw [red] (3.5,0) circle [radius=0.1]; \draw [thick, pink] (4,0) -- (5,0); \draw [red] (5.5,0) circle [radius=0.1]; \draw [thick, pink] (6,0) -- (7,0); \draw [red] (7.5,0) circle [radius=0.1]; \draw [thick, pink] (8,0) -- (9,0); \draw [red] (9.5,0) circle [radius=0.1]; \draw [thick, pink] (10,0) -- (11,0); \draw [red] (11.5,0) circle [radius=0.1]; \draw [thick, pink] (12,0) -- (13,0); \draw [red] (13.5,0) circle [radius=0.1]; \draw [thick, pink] (14,0) -- (15,0); \end{tikzpicture}

Esempio di probabilità condizionata

Si osservano dei decadimenti e se ne misurano indipendentemente N_a e N_b; in comune ne sono stati misurati N_{ab}. Possiamo stimare il numero totale di eventi N e l'efficienza totale \epsilon.


  P(a) = \frac{N_a}{N} \hspace{100pt} P(b) = \frac{N_b}{N}


  P(ab) = \frac{N_{ab}}{N} = P(a) \cdot P(b) = \frac{N_a \cdot N_b}{N^2}
  \Longrightarrow N = \frac{N_a \cdot N_b}{N_{ab}}


  \epsilon = P(a \cup b) = P(a) + P(b) -P(a \cap b) =
  \frac{N_a + N_b - N_{ab}}{N}

Teorema di Bayes


  P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}
  \hspace{100pt}
  P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}


  P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}

Dal teorema di Bayes è possibile dedurre il teorema della probabilità totale: consideriamo un insieme S diviso in sottoinsiemi disgiunti A_i la cui unione dà l'insieme di partenza:


  \cup_i A_i = S

e consideriamo un insieme B anch'esso interno ad S:


  B = B \cap S = B \cap (\cup_i A_i) = \cup_i (B \cap A_i)


  \Longrightarrow P(B) = \sum_i P(B \cap A_i)


  \Longrightarrow P(B) = \sum_i P(B|A_i)P(A_i)

da cui, per uno specifico insieme A_j, attraverso il teorema di Bayes:


  P(A_j|B) = \frac{P(B|A_j) \cdot P(A_j)}{\sum_i P(B|A_i)P(A_i)}

Esempio di probabilità totale: segnale e fondo

Un rilevatore misura segnale e fondo con relative efficienze P(R|S) e P(R|F). Se sono note a priori la probabilità di segnale e di fondo P(S) e P(F), allora si può risalire alla probabilità, data una misurazione, di aver misurato il segnale:


  P(S|R) = \frac{P(R|S) \cdot P(S)}{P(R|S) \cdot P(S) + P(R|F) \cdot P(F)}

Esempio di probabilità totale: AIDS


  P(\text{AIDS}) = 0.001 \hspace{50pt} P(\text{no AIDS}) = 0.999


  P(\text{+|AIDS}) = 0.98 \hspace{50pt} P(\text{-|AIDS}) = 0.02


  P(\text{+|no AIDS}) = 0.03 \hspace{50pt} P(\text{-|no AIDS}) = 0.97

Quindi se il test è positivo, la probabilità di avere davvero preso l'AIDS è:


  P(\text{AIDS|+}) = \frac{P(\text{+|AIDS}) \cdot P(\text{AIDS})}
  {P(\text{+|AIDS}) \cdot P(\text{AIDS}) + P(\text{+|no AIDS}) \cdot
  P(\text{no AIDS})} = 0.032

Approccio bayesiano con una teoria

Cominciamo com un esempio: con un esperimento è stata misurata la massa di un elettrone e sono stati trovati i valori {$m_i$}, di cui il valore medio è m_e = \SI{520 \pm 10}{KeV}. Si assume quindi che il valore vero sia compreso tra \SI{510}{KeV} e \SI{530}{KeV} con una probabilità del 68% data dal confidence level. Per cui, la probabilità che la massa vera sia proprio \SI{520}{KeV} è data da:


  P(m_e|{m_i}) = \frac{}{}

\textcolor{red}{rivedere negli appunti questa formula}

Quando si fa una misurazione, si misurano N valori e si calcolano il valore medio \bar{x} e la deviazione standard \sigma e si dice che il risultato è:


  \mu = \bar{x} \pm \frac{\sigma}{\sqrt{N}}

e di solito lo si interpreta dicendo che:


  P \left( \bar{x} - \frac{\sigma}{\sqrt{N}} \leqslant \mu \leqslant
  \bar{x} + \frac{\sigma}{\sqrt{N}} \right) = 68\%

ma in realtà quello che sappiamo è solo che:


  P \left( \mu - \frac{\sigma_{true}}{\sqrt{N}} \leqslant \bar{x} \leqslant
  \mu + \frac{\sigma_{true}}{\sqrt{N}} \right) = 68\%

\textcolor{red}{WHAT?!?}

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