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@1 ----------------------------------------------------------------------------
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# Numero di condizionamento
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È il rapporto tra la variazione percentuale del risultato e la variazione
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percentuale del dato in ingresso. È un parametro utile per controllare se
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un problema sia mal o ben condizionato.
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Nel caso di una funzione f, questo parametro si riduce ad essere
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10.1016/0168-9002(90)91334-8
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x f'(x) / f(x)
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e il limite per l'incremento dei dati iniziali tendente a zero è detto
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`fattore di amplificazione` e il problema potrebbe essere mal condizionato
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soltanto per determinati valori di x.
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@2 ----------------------------------------------------------------------------
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# Probabilità condizionata
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La seconda uguaglianza è valida se A e B sono eventi indipendenti.
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P(A ⋂ B) P(A) P(B)
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P(A|B) = -------- = --------- = P(A)
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P(B) P(B)
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da cui si ottiene il `teorema di Bayes`:
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P(A ⋂ B) \
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P(A|B) = -------- |
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P(B) | P(B|A) P(A)
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> P(A|B) = -----------
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P(B ⋂ A) | P(B)
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P(B|A) = -------- |
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P(A) /
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# Correlazione tra variabili
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Si può usare per determinare se una teoria sia valida oppure no dato un certo
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campione sperimentale (A è la teoria e B sono i dati). P(A ⋂ B) è la joint pdf.
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Le `convoluzioni di Mellin e Fourier` servono per trovare la pdf di una
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variabile che è rispettivamente il prodotto o la somma di altre due variabili
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con pdf nota (dimostrazione cartacea).
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La `covarianza` cov(x, y) è definita come:
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cov(x, y) = E[x * y] - (μx * μy) = E[(x - μx)*(y - μy)]
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e il coefficiente di correlazione di Pearson è definito come:
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ρ = cov(x, y)/(σx * σy)
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ed è compreso tra -1 e 1. Dice quanto le variabili siano correlate: se è nullo,
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non lo sono per niente; se è positivo, sono inclinate in avanti, altrimenti
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sono inclinate in dietro.
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Per dei dati è definita la `matrice di covarianza` V (se sono indipendenti,
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sarà diagonale, con gli errori quadrati come entrate). Se poi ho delle
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grandezze che dipendono da questi dati, la loro matrice di covarianza U può
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essere calcolata da quella iniziale come:
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U = AVA^T con Aij = ∂_xi yj
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dove A è quindi la matrice del cambio di base nel caso di un cambio di
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variabili.
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In teoria questa cosa funziona solo se le y dipendono linearmente dalle x su
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dimensioni comparabili con le σ. Importante: eventuali errori sistematici si
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sommano in quadratura su tutta la matrice di covarianza.
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# Distribuzioni di probabilità
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Abbiamo visto diversi tipi:
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- Binomiale
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/ N \ E[n] = N*p
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P(n, N, p) = | | p^n (1 + p)^(N - n) con
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\ n / V[n] = N*p*(p-1)
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da cui si può poi ricavare la multinomiale.
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- Poissoniana
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ν^n
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P(n, ν) = --- e^(-ν) con E[n] = V[n] = ν
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n!
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Si ottiene dal caso precedente per N→∞ e p→0 con N*p = ν.
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- Uniforme
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1 E[x] = (a + b)/2
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P(x, b, a) = ----- con
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b - a V[x] = (b - a)^2/12
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- Gaussiana
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1 / (x - μ)^2 \ E[x] = μ
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G(x, μ, σ) = -------- e^| - --------- | con
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√(2 π) σ \ 2 σ^2 / V[x] = σ^2
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È il limite delle prime due distribuzioni per N→∞.
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Il `teorema centrale` del limite dice che se una variabile è la somma di N
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variabili indipendenti tutte con la stessa pdf con valore medio μi e devstd σi,
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allora tale variabile ha distribuzione Normale con:
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μ = Σμi e σ² = Σσi²
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@3 ----------------------------------------------------------------------------
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# Momenti di una distribuzione
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A parte il valore medio e la varianza, solitamente si definiscono skewness e
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kurtosis:
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| (x - X)³ | | (x - X)⁴ |
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γ = E | -------- | k = E | -------- | - 3
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| σ³ | | σ⁴ |
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dove X è la media campionaria e 3 è la kurtosis della Gaussiana.
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# Test di ipotesi
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Se ho dei dati sperimentali e devo scegliere tra due (o più) ipotesi, devo
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costruire una `statistica di test` che avrà una propria pdf e in questa porre
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un valore di soglia. Anche la pdf della statistica di test avrà una pdf o
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l'altra a seconda di quale delle due ipotesi sia vera.
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- Se è vera l'ipotesi nulla, l'area dal cut a +∞ è detta significanza α e
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1 - α è detto livello di confidenza (o efficienza).
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- Se è vera l'ipotesi alternativa, se l'area da -∞ al cut è β, allora 1 - β
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è detta potenza del test (o purezza).
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Si chiama errore di prima specie se si scarta l'ipotesi nulla quando invece è
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vera ed errore di seconda specie quando la si accetta e invece è falsa.
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Noi abbiamo sempre controllato solo qual è la pdf della statistica di test nel
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caso in cui l'ipotesi nulla sia vera e abbiamo posto il livello di confidenza
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al 95%, ovvero α = 5%.
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La potenza è detta anche purezza perché è la probabilità di scambiare "rumore
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per segnale", mentre l'intervallo di confidenza si dice anche efficienza perché
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è la probabilità di scambiare "il segnale per segnale".
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Il `lemma di Neyemann Pearson` dice che la statistica di test che massimizza la
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purezza una volta fissata l'efficienza è il rapporto delle Likelihood:
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L(H0)/L(H1).
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o comunque il rapporto delle probabilità di ottenere il campione misurato
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secondo le due ipotesi.
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Nel caso in cui le due pdf siano gaussiane, il discriminante di Fisher porta
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allo stesso risultato che si otterrebbe con il rapporto delle Likelihood.
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# Confronto di due datasets
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Il test di `Kolmogorov-Smirnov` serve per confrontare dati non binnati: o un set
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di dati con una funzione attesa, oppure due set di dati tra loro. Siccome
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confronta tra loro le cumulative, va bene nel confrontare shifts dei dati o
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grandi variazioni ma non piccoli dip nelle pdf. Per farlo in più dimensioni,
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esistono varie idee ma non c'è n'è una standard e soprattutto la distribuzione
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della statistica non è nota e va simulata.
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Se i dati sono binnati, invece, allora si può usare il `test del χ²`:
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(ni - νi)²
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χ² = Σ ---------
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νi
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e si guarda qual è il p-value della sua distribuzione, che è nota.
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Il `p-value` è la probabilità di misurare un valore che si allontani ancora di
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più del valore trovato rispetto alla statistica di test prevista dall'ipotesi
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nulla. Ovvero:
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- se H0 dice che il valore medio di t è t0
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- ed io ho misurato un valore la cui statistica di test vale tx < t0
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- il p-value è dato dall'integrale da -∞ a tx della pdf della statistica di
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test nel caso in cui l'ipotesi nulla sia vera.
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deve essere grande affinché l'ipotesi nulla possa essere ritenuta vera, dato
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il dato controllato e quindi la significanza α dovrebbe essere grande (invece
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la si mette sempre a 0.5 perché è standard). Oppure deve essere piccolo se
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voglio confutarla (e quindi metterò una piccola significanza di riferimento).
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Attenzione al `look-elsewhere effect`: se mi sforzo di trovare un p-value
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minore di α (significanza), se faccio tante prove, prima o poi lo troverò, ma
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non vuol dire che sia significativo.
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@4 ----------------------------------------------------------------------------
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# Stima di parametri
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Consideriamo una variabile casuale x che segue la pdf f(x), la quale ha dei
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parametri Θ. Se io faccio una misura y di questi, allora otterrò uno stimatore
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⊇(y) dei parametri Θ. Anche questo stimatore avrà una sua pdf che dipende dal
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valore vero. Uno stimatore deve soddisfare alcuni requisiti:
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- consistenza: per N→∞, ⊇→Θ;
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- unbias: E[⊇] = Θ
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Ovvero: ripetendo tante volte l'esperimento, il valore medio della
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distribuzione deve essere il valore vero;
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- deve avere una piccola varianza.
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Per esempio, la media campionaria è uno stimatore della media e la sua varianza
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è σ²/N, nel senso che se si ripetesse lo stesso esperimento tante volte e si
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guardasse la distribuzione delle medie così ottenute, otterremmo che queste
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medie seguono una pdf con questa varianza. Affinché lo stimatore della varianza
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sia unbiasato, si deve introdurre la correzione di Bessel.
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Un metodo che si può utilizzare è la maximum Likelihood. Se lo si applica al
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caso di una gaussiana, si trova che gli stimatori della media e della varianza
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sono la media e la varianza campionarie. Quest'ultima va però corretta con la
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correzione di Bessel.
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La disuguaglianza di `Cramer-Rao` (detto anche bound RCF) afferma che la matrice
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di covarianza è >= all'inverso della matrice Hessiana di -L calcolata nel
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minimo.
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Uno `stimatore robusto` è poco sensibile ai valori nelle code della
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distribuzione. È buono che gli stimatori siano robusti. Un esempio è la media
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trimmata, in cui nel calcolo si escludono i punti più esterni.
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Quando si sta lavorando con una gaussiana contaminata, ovvero che è la somma
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di due gaussiane in cui la seconda è, per esempio, il rumore, ed ha una
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varianza maggiore, allora anziché usare la varianza campionaria standard,
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è meglio usare d_n:
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1
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d_n = - Σi |xi - X|
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N
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L'`extended maximum Likelihood` si usa quando non ho deciso io il numero di
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dati ma è esso stesso una misura sperimentale (come nel caso dei decadimenti):
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in questo caso si moltiplica la Likelihood per la probabilità (Poissoniana) di
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ottenere quel numero di decadimenti: se la relazione ν(Θ) è nota, ciò permette
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di ottenere degli stimatori con minore varianza.
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@5 ----------------------------------------------------------------------------
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# Stima di parametri
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Il χ² è il metodo della Maximum Likelihood nel caso in cui:
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- ho delle misure yi(xi) affette da un rumore gaussiano,
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- i valori medi e le devstd di queste gaussiane sono λi e σi,
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- la Likelihood sarebbe il prodotto delle gaussiane e quindi il logaritmo è
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la somma degli esponenti
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- massimizzare questa somma equivale a minimizzare il χ² dove i valori
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attesi sono dati dalle λi e gli errori dalle σi.
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Nella pratica i λi si suppone coincidano con il valore atteso della pdf e le
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varianze con le varianze campionarie.
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Nel caso in cui la funzione attesa sia lineare nei parametri, il metodo ha
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soluzione analitica.
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Di solito si guarda poi il `χ² ridotto` e il fit è buono se è prossimo a uno.
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IMPORTANTE:
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Il metodo della Likelihood e quello dei momenti si usano quando si hanno punti
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distribuiti secondo una pdf e si vogliono stimare i parametri della pdf. NON
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si hanno delle y(x). Il metodo del χ², invece, si usa per trovare la funzione
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che lega le y alle x. Se lo si vuole usare con dei dati ottenuti da una pdf,
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allora bisogna binnarli in modo tale da ottenere le y.
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Quando ci sono dei problemi nella minimizzazione del χ², si può provare ad
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usare il `metodo dei momenti`, anche se generalmente dà risultati con maggiore
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varianza (il teorema di `Gauss Markov` afferma che gli estimatori che si
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trovano col χ² sono infatti quelli con la varianza minima).
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- Ho dei punti xi e voglio trovare i parametri della pdf fΘ(x),
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- calcolo analiticamente i momenti della funzione come integrali della
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funzione per x, per x², eccetera. (se i parametri sono n, calcolo i primi
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n momenti)
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- calcolo i momenti in modo discreto usando i dati xi
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(X = Σxi/N, X² = Σx²i(N)
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- uguaglio quelli analitici con quelli sperimentali e trovo i Θ.
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L'errore è dato dalla propagazione degli errori (che è il solito U = AVA^T).
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@6 ----------------------------------------------------------------------------
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# Intervalli di confidenza
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Un intervallo di confidenza può soddisfare certe caratteristiche:
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- simmetrico: i bordi sono equidistanti dal valore centrale;
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- centrale: la parte di area della pdf lasciata fuori è uguale tra dx e sx;
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- one side: se uno dei due estremi è ±∞.
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Dire che:
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x = x₀ ± δx CL = 68%
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significa che ripetendo N volte l'esperimento, il 68% delle volte si otterrà
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che x₀ appartiene a quell'intervallo (non che il valore vero ha il 68% di
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probabilità di essere in quell'intervallo, che non ha alcun senso...).
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Quando si vuole stimare la media di una distribuzione, per il CLT questa segue
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una distribuzione gaussiana per N→∞ e quindi gli intervalli di confidenza sono
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noti, date le σ.
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La `quantile` di 0.5 è la mediana. Il che significa che la quantile è l'inversa
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della cumulativa.
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Considerando di avere ottenuto lo stimatore Θ del parametro O e di volere dare
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un intervallo di confidenza pari a 1 - α - β. Dovrò trovare gli estremi a e b
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che corrispondono a tali valori e per farlo dovrò utilizzare la quantile
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dell'area che mi serve.
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PARTE CHE NON SI CAPISCE UN TUBO
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@7 ----------------------------------------------------------------------------
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# Minimizzazione
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Quando un estremo si trova sul bordo dell'intervallo, non è affatto detto che
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la sua derivata prima sia nulla.
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Non esiste un metodo che con certezza identifichi il `minimo globale` di una
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funzione.
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Data la precisione finita dei floating point, non si può cercare un minimo
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annullando la derivata prima. Al più si può porre un valore di tolleranza.
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Vediamo un po' di metodi.
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- `Metodo di bisezione`:
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Si può usare quando gli estremi sono a > 0 > b e la funzione è monotona. Si
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divide a metà e si guarda se è positivo o negativo e poi si aggiornano gli
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estremi in modo da tenere i due vicini a segni opposti.
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- Metodo analogo:
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Se invece la funzione è di forma pseudoparabolica con estremi a e b, allora
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si sceglie un punto a < x < b tale che f(a) > f(x) e f(b) > f(x), perché
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questo assicura che il minimo sia compreso nell'intervallo [a, b]. Poi si
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sceglie un terzo punto x', per esempio tra a e x: se f(x') > f(x), allora
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tengo l'intervallo [x', b], altrimenti tengo [a, x] (cioè devono sempre
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esserci tre punti dentro, compresi gli estremi).
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- Se si utilizza il `rapporto aureo` (3 - √5)/2, allora la convergenza è
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ottimale. È una convergenza lineare, nel senso che il numero di cifre
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significative che si ottengo del minimo cresce linearmente col numero
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di iterazioni.
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- Se la funzione è particolarmente semplice, si può usare il `metodo della
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parabola`: si fittano i tre punti con una parabola e si trova il minimo
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di quest'ultima. Poi il set dei tre punti è aggiornato tenendo il
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vertice e i due punti contigui.
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- Il metodo di Brent combina questi due metodi.
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Nel caso N-dimensionale diventa più complicato.
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- `Metodo del simplesso`:
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Si considerano N+1 punti in uno spazio N-dimensionale (per esempio un
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triangolo nel piano): questo simplesso può riflettersi, estendersi o
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contrarsi. Ad ogni iterazione, il vertice in cui la funzione assume il
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valore maggiore viene aggiornato. L'algoritmo termina quando il
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simplesso diventa sufficientemente piccolo (perché in corrispondenza
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del minimo inizia a contrarsi). Il problema si ha quando c'è un grosso
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avvallamento, perché inizia a perdersi. È un procedimento molto lento.
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- `Metodo delle direzioni`:
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Si può minimizzare la funzione in una direzione e poi dal punto di minimo
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scegliere un'altra direzione e minimizzare in quest'altra, ecc ecc. Un
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esempio di ricerca delle direzioni è quello delle direzioni coniugate, ma ce
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ne sono molti altri.
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Per testare se un metodo di minimizzazione funziona bene, sono state inventate
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alcune funzioni di test patologiche.
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@8 ----------------------------------------------------------------------------
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# Tecniche Monte Carlo
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Una tecnica Monte Carlo è una qualsiasi tecnica che preveda la generazione di
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numeri casuali.
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Si possono usare per stimare il valore dell'integrale e la convergenza è
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dell'ordine 1/√N. Il vantaggio rispetto alle tecniche numeriche è che la
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convergenza resta dello stesso ordine anche nel caso di più dimensioni.
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Più precisamente, l'errore è:
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V(f)/√N
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dove V(f) è la varianza dei punti generati e dipende dal metodo utilizzato.
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L'`importance sampling` e lo `stratified sampling` permettono di ridurre V(f).
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Un altro metodo è quello delle `variabili antitetiche`: per calcolare la media
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di f (perché I = V*<f>), si estrae un campione di punti {xi}, che avrà varianza
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σi, e un campione {yi} con punti scelti in modo tale, per esempio, che per ogni
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xi:
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yi = (a - b)[1 - xi/(b - a)]
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In questo modo i due campioni hanno covarianza negativa e quindi la varianza
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totale è inferiore. Notare che in questo caso si deve sommare anche la
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covarianza perché i punti sono stati generati in modo correlato.
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# Numeri casuali e pseudocasuali
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Generare numeri veramente casuali è molto più complesso di generare `numeri
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pseudocasuali`. Infatti il computer, per generarli, utilizza una formula ben
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precisa che ha lo scopo di rendere dei numeri apparentemente casuali. In
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realtà hanno anche un periodo. I generatori attualmente usati sono
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principalmente di due tipi:
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- congruenti moltiplicativi:
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ri = [a*ri-1 (mod m)]
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- congruenti misti:
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ri = [a*ri-1 +b (mod m)]
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il periodo è al massimo m/4 e di solito m = 2^t con t numero di bits di un
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intero nella macchina considerata, il che significa che è il più grande intero
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rappresentabile.
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Un generatore di numeri casuali deve essere sottoposto a test di randomness.
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Infatti può sembrare che i punti in 3D si dispongano casualmente ma in realtà,
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visti dalla giusta angolazione, può verificarsi che si dispongano in realtà
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su dei piani (o su iperpiani in N-dimensioni).
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# Numeri casuali secondo pdf generiche
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Se si dispone di un generatore di numeri casuali uniformi, esistono tre
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metodi per generare numeri secondo una pdf generica:
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- `Reverse sampling`:
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Consideriamo la cdf F(x) di una variabile x distribuita secondo f(x) come
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||
una variabile casuale a sua volta. Si può facilmente dimostrare che la pdf
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di questa variabile è uniforme.
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Si possono quindi pescare numeri uniformemente tra 0 e 1 e poi calcolarne
|
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la quantile (cioè l'inversa della F(x): si ottengono punti distribuiti come
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f(x)).
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||
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- `Metodo di composizione`:
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Si suddivide la pdf nella somma di due o più pdf (ognuna delle quali deve
|
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risultare normalizzata e quindi avrà il suo opportuno coefficiente
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moltiplicativo). I coefficienti moltiplicativi verranno utilizzati per
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decidere quando pescare secondo una o l'altra pdf pescando un primo numero
|
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random. Un secondo numero random verrà poi usato tramite reverse sampling.
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||
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- `Metodo hit-miss`:
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||
Si pescano numeri a caso in un'area che contiene la funzione e poi si
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tengono se sono sotto alla funzione e si scartano se sono sopra.
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Per generare numeri secondo una Gaussiana, basta usare il CLT. Si pescano
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numeri casuali e si considera la distribuzione della somma (riga 94).
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Le simulazioni MC sono molto utili per capire se conviene apportare certe
|
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modifiche alle strumentazioni sperimentali oppure no.
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@9 ----------------------------------------------------------------------------
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# Tecniche di deconvoluzione
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Esistono diverse tecniche di deconvoluzione dei dati.
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- `Matrice di correzione`:
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Si suppone che i dati osservati derivino da quelli veri in questo modo:
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ν = R * μ + β → νi = Rij μj + βi
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dove β è un eventuale fondo e R è la matrice di correzione.
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||
Notare che Σj di R_ij dà l'efficienza con cui il segnale μ_j viene
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||
trasformato in segnale osservato.
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||
In realtà i segnali osservati sono n_i, ognuno dei quali appartiene ad una
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poissoniana di media ν_i. Si può massimizzare la Likelihood per trovare i
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parametri ν_i e poi invertire la matrice e sottrarre il fondo.
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μj = (νi - βi) Rij^-1 ~ (ni - βi) Rij^-1
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Massimizzando la Likelihood, si ottengono stimatori unbias e con varianza
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minima n_i = ν_i. Se si fa così, però, non assomigliano affatto a quelli
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corretti. Si deve accettare di minimizzare la varianza: `procedura di
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unfolding generalizzata`.
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- `Metodo dei fattori di correzione`:
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I valori veri vengono stimati come:
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μi = Ci (ni - βi)
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dove Ci può essere stimato tramite simulazioni MC come:
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μi = Ci νi → Ci = μi/νi
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dove μi e νi sono creati attraverso due simulazioni MC:i primi simulando
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solo la fisica del sistema e i secondi simulando anche la risposta della
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strumentazione utilizzata (ma senza simulare il fondo).
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In pratica, il fattore Ci ci dice quanta parte di quanto osservato nel bin
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i-esimo appartiene effettivamente al bin i-esimo.
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Questo metodo funziona bene se non c'è molta migrazione tra bin e bin: è
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valido per dare una prima idea.
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- `Unfolding generalizzato`:
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In questo caso si cerca sempre uno stimatore bias con varianza maggiore ma
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si cerca di ottenere una soluzione più liscia: lo si fa ponendo un limite Δ
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alla differenza tra L_max e L(μ) usato:
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L(μ) >= Lmax - ΔL
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Dove L(μ) = Lmax se è soddisfatta la soluzione ML.
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Tra le soluzioni che soddisfano questa equazione, si prende quella con la
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maggiore smoothness. La smoothness è definita tramite una funzione S(μ)
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chiamata funzione di regolarizzazione. Bisogna cioè massimizzare la
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funzione:
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f(μ) = αL(μ) + S(μ)
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Per cominciare si fissa α, considerando che:
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- per α = 0 si ottiene la soluzione più smooth che però ignora i dati;
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- per α → ∞ la soluzione non è smooth, perché massimizzare f(μ) equivale
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semplicemente a scegliere L(μ) = Lmax.
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Poi si massimizza per μ, imponendo anche il constraint:
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Σi νi = Σij Rij μj = Ntot
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E quindi ci ri riduce al metodo dei moltiplicatori di Laplace, ovvero si
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deve massimizzare:
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f(μ) = αL(μ) + S(μ) + λ[Ntot - Σij Rij μj]
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Esistono poi diversi metodi per scegliere α e S(μ).
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- `Regolarizzazione di Tikhonov`:
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Si prende come S(h) l'opposto della rms della derivata k-esima della
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'funzione' μ, dove il segno meno è messo perché così, più la derivata
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tende a 0, più la funzione è liscia. Chiaramente, trattandosi di dati
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discreti, si fa la derivata numerica tra bin consecutivi.
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- `Regolarizzazione col Max Ent`:
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Si usa la definizione di entropia per un set di probabilità pi:
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H = - Σi pi ln(pi)
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e l'entropia è massima se tutte le probabilità sono uguali ed è minima
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se una è unitaria e le altre sono tutte zero. L'idea è di usare H come
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funzione di regolarizzazione, dove:
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pi = μi/Ntot
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Per quanto riguarda la scelta di α, in genere lo si sceglie minimizzando
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la matrice di covarianza, cioè il χ².
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@10 ---------------------------------------------------------------------------
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# Catena di acquisizione
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La grandezza da misurare viene convertita in segnale elettronico da un
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trasduttore (per esempio un fotomoltiplicatore che converte l'energia di un
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fotone in tensione); dopodiché il segnale viene digitalizzato da un ADC
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(Analogical to Digital Converter) ed elaborato (per esempio con filtri e
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amplificatori) e infine i dati vengono acquisiti da un'unità di acquisizione
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dati, il DAQ (DAta acQuisition), e memorizzati.
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Un sistema di acquisizione può influenzare i dati stessi se è implementato
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un sistema di feedback nel circuito di amplificazione.
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L'ADC comincia a registrare i dati dopo un segnale di `triggering`, ovvero
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quando una certa soglia è stata superata, indicando che un segnale è stato
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rilevato.
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In un pc, i dati vengono salvati in formato binario. Mentre per i numeri la
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conversione è immediata, per il linguaggio alfanumerico sono state inventate
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delle `codifiche` come per esempio il codice ASCII o l'UTF8. La tabella unicode
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contiene tutti codepoint e descrive come eventualmente si fondono.
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Il `bus` è l'insieme delle linee elettriche che collega vari dispositivi,
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ognuno dei quali è identificato univocamente da un indirizzo. I dispositivi
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possono essere masters o slaves o entrambe le cose. Gli slaves possono solo
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rispondere, mentre i masters possono decidere di mandare cose a chi vogliano.
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Gli `ADC` possono essere peak-sensing (digitalizzano il valore di picco del
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segnale) o flesh (campionando la forma del segnale). Alcuni parametri
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caratterizzano un ADC:
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- risoluzione: quantità di bit a disposizione;
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- tempi di conversione: tempo impiegato a digitalizzare un segnale;
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- precisione di conversione (derive termiche, ecc).
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Il `trigger` determina che il segnale arrivato sia effettivamente segnale e
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non fondo. È possibile che ci siano diversi parametri che devono essere
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soddisfatti affinché il segnale possa essere ritenuto valido e ci vuole del
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tempo per verificarli tutti. Questi diversi trigger sono dunque affiancati da
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dei buffer che immagazzinano momentaneamente la grande quantità di segnali in
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arrivo.
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Ogni processore, infatti, ha un deadtime, cioè un tempo in cui non è in grado
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di cominciare a processare altri segnali perché sta processando l'ultimo
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arrivato. Quindi anche il processore finale, che è il vero collo di bottiglia,
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ha un buffer.
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