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# Probabilità
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## Concetto di probabilità
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Consideriamo un insieme S di eventi detto "spazio campionario" e due eventi
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casuali A e B. Essi sono soggetti agli assiomi di Kolmogorov:
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$\forall A \subseteq S, 0 \leqslant P(A) \leqslant 1$
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$P(S) = 1$
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$A \cap B = \varnothing \Longrightarrow P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
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Si definisce probabilità condizionata di A dato B:
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$$
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P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}
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$$
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Se due eventi sono indipendenti, allora vale che:
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$$
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P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \Longrightarrow
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P(A|B) = \frac{P(A) \cdot P(B)}{P(B)} = P(A)
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$$
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Esistono diversi approcci per definire la probabilità:
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- approccio frequentista:
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$$
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P(A) = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\#A}{n}
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$$
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ma c'è il problema che è impossibile fare un numero infinito di tentativi.
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- approccio bayesiano:
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utilizzare il teorema di Bayes, per esempio:
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$$
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P(\text{teoria|dati}) \propto P(\text{dati|teoria}) \cdot P(\text{teoria})
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$$
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si tratta quindi di un approccio "soggettivo", almeno per l'ultimo termine
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dell'equazione qua sopra, perché la probabilità della validità della teoria
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può essere data sulla base di ragionamenti e osservazioni riguardanti il
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fenomeno di cui si sta parlando.
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\begin{tikzpicture}
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\draw [thick, pink] (0,0) -- (1,0);
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\draw [red] (1.5,0) circle [radius=0.1];
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\draw [thick, pink] (2,0) -- (3,0);
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\draw [red] (3.5,0) circle [radius=0.1];
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\draw [thick, pink] (4,0) -- (5,0);
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\draw [red] (5.5,0) circle [radius=0.1];
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\draw [thick, pink] (6,0) -- (7,0);
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\draw [red] (7.5,0) circle [radius=0.1];
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\draw [thick, pink] (8,0) -- (9,0);
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\draw [red] (9.5,0) circle [radius=0.1];
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\draw [thick, pink] (10,0) -- (11,0);
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\draw [red] (11.5,0) circle [radius=0.1];
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\draw [thick, pink] (12,0) -- (13,0);
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\draw [red] (13.5,0) circle [radius=0.1];
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\draw [thick, pink] (14,0) -- (15,0);
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\end{tikzpicture}
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### Esempio di probabilità condizionata
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Si osservano dei decadimenti e se ne misurano indipendentemente $N_a$ e $N_b$;
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in comune ne sono stati misurati $N_{ab}$. Possiamo stimare il numero totale
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di eventi $N$ e l'efficienza totale $\epsilon$.
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$$
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P(a) = \frac{N_a}{N} \hspace{100pt} P(b) = \frac{N_b}{N}
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$$
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$$
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P(ab) = \frac{N_{ab}}{N} = P(a) \cdot P(b) = \frac{N_a \cdot N_b}{N^2}
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\Longrightarrow N = \frac{N_a \cdot N_b}{N_{ab}}
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$$
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$$
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\epsilon = P(a \cup b) = P(a) + P(b) -P(a \cap b) =
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\frac{N_a + N_b - N_{ab}}{N}
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$$
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\begin{tikzpicture}
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\draw [thick, pink] (0,0) -- (1,0);
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|
\draw [red] (1.5,0) circle [radius=0.1];
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|
\draw [thick, pink] (2,0) -- (3,0);
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|
\draw [red] (3.5,0) circle [radius=0.1];
|
|
\draw [thick, pink] (4,0) -- (5,0);
|
|
\draw [red] (5.5,0) circle [radius=0.1];
|
|
\draw [thick, pink] (6,0) -- (7,0);
|
|
\draw [red] (7.5,0) circle [radius=0.1];
|
|
\draw [thick, pink] (8,0) -- (9,0);
|
|
\draw [red] (9.5,0) circle [radius=0.1];
|
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\draw [thick, pink] (10,0) -- (11,0);
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|
\draw [red] (11.5,0) circle [radius=0.1];
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|
\draw [thick, pink] (12,0) -- (13,0);
|
|
\draw [red] (13.5,0) circle [radius=0.1];
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|
\draw [thick, pink] (14,0) -- (15,0);
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\end{tikzpicture}
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## Teorema di Bayes
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$$
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|
P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}
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\hspace{100pt}
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P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}
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$$
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$$
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|
P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}
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$$
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Dal teorema di Bayes è possibile dedurre il teorema della probabilità totale:
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consideriamo un insieme $S$ diviso in sottoinsiemi disgiunti $A_i$ la cui
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unione dà l'insieme di partenza:
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$$
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\cup_i A_i = S
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$$
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e consideriamo un insieme $B$ anch'esso interno ad $S$:
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$$
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B = B \cap S = B \cap (\cup_i A_i) = \cup_i (B \cap A_i)
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$$
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$$
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\Longrightarrow P(B) = \sum_i P(B \cap A_i)
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$$
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$$
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\Longrightarrow P(B) = \sum_i P(B|A_i)P(A_i)
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|
$$
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da cui, per uno specifico insieme $A_j$, attraverso il teorema di Bayes:
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$$
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P(A_j|B) = \frac{P(B|A_j) \cdot P(A_j)}{\sum_i P(B|A_i)P(A_i)}
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$$
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\begin{tikzpicture}
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|
\draw [thick, pink] (0,0) -- (1,0);
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|
\draw [red] (1.5,0) circle [radius=0.1];
|
|
\draw [thick, pink] (2,0) -- (3,0);
|
|
\draw [red] (3.5,0) circle [radius=0.1];
|
|
\draw [thick, pink] (4,0) -- (5,0);
|
|
\draw [red] (5.5,0) circle [radius=0.1];
|
|
\draw [thick, pink] (6,0) -- (7,0);
|
|
\draw [red] (7.5,0) circle [radius=0.1];
|
|
\draw [thick, pink] (8,0) -- (9,0);
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|
\draw [red] (9.5,0) circle [radius=0.1];
|
|
\draw [thick, pink] (10,0) -- (11,0);
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|
\draw [red] (11.5,0) circle [radius=0.1];
|
|
\draw [thick, pink] (12,0) -- (13,0);
|
|
\draw [red] (13.5,0) circle [radius=0.1];
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|
\draw [thick, pink] (14,0) -- (15,0);
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\end{tikzpicture}
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### Esempio di probabilità totale: segnale e fondo
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Un rilevatore misura segnale e fondo con relative efficienze $P(R|S)$ e
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$P(R|F)$. Se sono note a priori la probabilità di segnale e di fondo
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$P(S)$ e $P(F)$, allora si può risalire alla probabilità, data una
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misurazione, di aver misurato il segnale:
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$$
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P(S|R) = \frac{P(R|S) \cdot P(S)}{P(R|S) \cdot P(S) + P(R|F) \cdot P(F)}
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$$
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|
\begin{tikzpicture}
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\draw [thick, pink] (0,0) -- (1,0);
|
|
\draw [red] (1.5,0) circle [radius=0.1];
|
|
\draw [thick, pink] (2,0) -- (3,0);
|
|
\draw [red] (3.5,0) circle [radius=0.1];
|
|
\draw [thick, pink] (4,0) -- (5,0);
|
|
\draw [red] (5.5,0) circle [radius=0.1];
|
|
\draw [thick, pink] (6,0) -- (7,0);
|
|
\draw [red] (7.5,0) circle [radius=0.1];
|
|
\draw [thick, pink] (8,0) -- (9,0);
|
|
\draw [red] (9.5,0) circle [radius=0.1];
|
|
\draw [thick, pink] (10,0) -- (11,0);
|
|
\draw [red] (11.5,0) circle [radius=0.1];
|
|
\draw [thick, pink] (12,0) -- (13,0);
|
|
\draw [red] (13.5,0) circle [radius=0.1];
|
|
\draw [thick, pink] (14,0) -- (15,0);
|
|
\end{tikzpicture}
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### Esempio di probabilità totale: AIDS
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$$
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P(\text{AIDS}) = 0.001 \hspace{50pt} P(\text{no AIDS}) = 0.999
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$$
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$$
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P(\text{+|AIDS}) = 0.98 \hspace{50pt} P(\text{-|AIDS}) = 0.02
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$$
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$$
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P(\text{+|no AIDS}) = 0.03 \hspace{50pt} P(\text{-|no AIDS}) = 0.97
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$$
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Quindi se il test è positivo, la probabilità di avere davvero preso l'AIDS è:
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$$
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P(\text{AIDS|+}) = \frac{P(\text{+|AIDS}) \cdot P(\text{AIDS})}
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|
{P(\text{+|AIDS}) \cdot P(\text{AIDS}) + P(\text{+|no AIDS}) \cdot
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|
P(\text{no AIDS})} = 0.032
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|
$$
|
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|
\begin{tikzpicture}
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\draw [thick, pink] (0,0) -- (1,0);
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|
\draw [red] (1.5,0) circle [radius=0.1];
|
|
\draw [thick, pink] (2,0) -- (3,0);
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|
\draw [red] (3.5,0) circle [radius=0.1];
|
|
\draw [thick, pink] (4,0) -- (5,0);
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|
\draw [red] (5.5,0) circle [radius=0.1];
|
|
\draw [thick, pink] (6,0) -- (7,0);
|
|
\draw [red] (7.5,0) circle [radius=0.1];
|
|
\draw [thick, pink] (8,0) -- (9,0);
|
|
\draw [red] (9.5,0) circle [radius=0.1];
|
|
\draw [thick, pink] (10,0) -- (11,0);
|
|
\draw [red] (11.5,0) circle [radius=0.1];
|
|
\draw [thick, pink] (12,0) -- (13,0);
|
|
\draw [red] (13.5,0) circle [radius=0.1];
|
|
\draw [thick, pink] (14,0) -- (15,0);
|
|
\end{tikzpicture}
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### Approccio bayesiano con una teoria
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Cominciamo com un esempio: con un esperimento è stata misurata la massa di
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un elettrone e sono stati trovati i valori {$m_i$}, di cui il valore medio
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è $m_e = \SI{520 \pm 10}{KeV}$. Si assume quindi che il valore vero sia
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compreso tra \SI{510}{KeV} e \SI{530}{KeV} con una probabilità del 68% data
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dal confidence level. Per cui, la probabilità che la massa vera sia proprio
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\SI{520}{KeV} è data da:
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$$
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P(m_e|{m_i}) = \frac{}{}
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$$
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\textcolor{red}{**rivedere negli appunti questa formula**}
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Quando si fa una misurazione, si misurano $N$ valori e si calcolano il valore
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medio $\bar{x}$ e la deviazione standard $\sigma$ e si dice che il risultato è:
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$$
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\mu = \bar{x} \pm \frac{\sigma}{\sqrt{N}}
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$$
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e di solito lo si interpreta dicendo che:
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$$
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P \left( \bar{x} - \frac{\sigma}{\sqrt{N}} \leqslant \mu \leqslant
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\bar{x} + \frac{\sigma}{\sqrt{N}} \right) = 68\%
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$$
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ma in realtà quello che sappiamo è solo che:
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$$
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P \left( \mu - \frac{\sigma_{true}}{\sqrt{N}} \leqslant \bar{x} \leqslant
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\mu + \frac{\sigma_{true}}{\sqrt{N}} \right) = 68\%
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$$
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**\textcolor{red}{WHAT?!?}**
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