lectures: added the file notes.md

It contains a very brief summary of the slides contents.

lectures/notes.md

@@ -0,0 +1,138 @@
+@1 ----------------------------------------------------------------------------
+
+# Numero di condizionamento
+
+È il rapporto tra la variazione percentuale del risultato e la variazione
+percentuale del dato in ingresso. È un parametro utile per controllare se
+un problema sia mal o ben condizionato.
+Nel caso di una funzione f, questo parametro si riduce ad essere
+
+  x f'(x) / f(x)
+
+e il limite per l'incremento dei dati iniziali tendente a zero è detto
+`fattore di amplificazione` e il problema potrebbe essere mal condizionato
+soltanto per determinati valori di x.
+
+@2 ----------------------------------------------------------------------------
+
+# Probabilità condizionata
+
+La seconda uguaglianza è valida se A e B sono eventi indipendenti.
+
+           P(A ⋂ B)   P(A) P(B)
+  P(A|B) = -------- = --------- = P(A)
+             P(B)       P(B)
+
+da cui si ottiene il `teorema di Bayes`:
+
+           P(A ⋂ B) \
+  P(A|B) = --------  |
+             P(B)    |            P(B|A) P(A)
+                      >  P(A|B) = -----------
+           P(B ⋂ A)  |               P(B)
+  P(B|A) = --------  |
+             P(A)   /
+
+# Correlazione tra variabili
+
+Si può usare per determinare se una teoria sia valida oppure no dato un certo
+campione sperimentale (A è la teoria e B sono i dati). P(A ⋂ B) è la joint pdf.
+Le `convoluzioni di Mellin e Fourier` servono per trovare la pdf di una
+variabile che è rispettivamente il prodotto o la somma di altre due variabili
+con pdf nota (dimostrazione cartacea).
+La `covarianza` cov(x, y) è definita come:
+
+  cov(x, y) = E[x * y] - (μx * μy) = E[(x - μx)*(y - μy)]
+
+e il coefficiente di correlazione è definito come:
+
+  ρ = cov(x, y)/(σx * σy)
+
+ed è compreso tra -1 e 1. Dice quanto le varibili siano correlate: se è nullo,
+non lo sono per niente; se è positivo, sono inclinate in avanti, altrimenti
+sono inclinate in dietro.
+Per dei dati è definita la `matrice di covarianza` V (se sono indipendenti,
+sarà diagonale, con gli errori quadrati come entrate). Se poi ho delle
+grandezze che dipendono da questi dati, la loro matrice di covarianza U può
+essere calcolata da quella iniziale come:
+
+  U = AVA^T   con   Aij = ∂_xi yj
+
+dove A è quindi la matrice del cambio di base nel caso di un cambio di
+variabili.
+In teoria questa cosa funziona solo se le y dipendono linearmente dalle x su
+dimensioni comparabili con le σ. Importante: eventuali errori sistematici si
+sommano in quadratura su tutta la matrice di covarianza.
+
+# Distribuzioni di probabilità
+
+Abbiamo visto diversi tipi:
+  - Binomiale
+                    / N \                              E[n] = N*p
+      P(n, N, p) = |     | p^n (1 + p)^(N - n)    con
+                    \ n /                              V[n] = N*p*(p-1)
+
+    da cui si può poi ricavare la multinomiale.
+  - Poissoniana
+
+                ν^n
+      P(n, ν) = --- e^(-ν)                        con  E[n] = V[n] = ν
+                n!
+
+    Si ottiene dal caso precedente per N→∞ e p→0 con N*p = ν.
+  - Uniforme
+                      1                                E[x] = (a + b)/2
+      P(x, b, a) =  -----                         con
+                    b - a                              V[x] = (b - a)^2/12
+  - Gaussiana
+                      1        /  (x - μ)^2 \          E[x] = μ
+      G(x, μ, σ) = -------- e^| - ---------  |    con 
+                   √(2 π) σ    \    2 σ^2   /          V[x] = σ^2
+
+È il limite delle prime due distribuzioni per N→∞.
+
+Il `teorema centrale` del limite dice che se una variabile è la somma di N
+variabli indipendenti tutte con la stessa pdf con valore medio μi e devstd σi,
+allora tale variabile ha distribuzione Normale con:
+
+  μ = Σμi   e   σ² = Σσi²
+
+@3 ----------------------------------------------------------------------------
+
+# Momenti di una distribuzione
+
+A parte il valore medio e la varianza, solitamente si definiscono skewness e
+kurtosis:
+
+        | (x - X)³ |          | (x - X)⁴ |
+  γ = E | -------- |    k = E | -------- |  - 3
+        |    σ³    |          |    σ⁴    |
+
+dove X è la media campionaria e 3 è la kurtosis della Gaussiana.
+
+# Test di ipotesi
+
+Se ho dei dati sperimentali e devo scegliere tra due (o più) ipotesi, devo
+costruire una `statistica di test` che avrà una propria pdf e in questa porre
+un valore di soglia. Anche la pdf della statistica di test avrà una pdf o
+l'altra a seconda di quale delle due ipotesi sia vera.
+  - Se è vera l'ipotesi nulla, l'area dal cut a +∞ è detta significanza α e
+    1 - α è detto livello di confidenza (o efficienza).
+  - Se è vera l'ipotesi alternativa, se l'area da -∞ al cut è β, allora 1 - β
+    è detta potenza del test (o purezza).
+Si chiama errore di prima specie se si scarta l'ipotesi nulla quando invece è
+vera ed errore di seconda specie quando la si accetta e invece è falsa.
+Noi abbiamo sempre controllato solo qual è la pdf della statistica di test nel
+caso in cui l'ipotesi nulla sia vera e abbiamo posto il livello di confidenza
+al 95%, ovvero α = 5%.
+La potenza è detta anche purezza perché è la probabilità di scambiare "rumore
+per segnale", mentre l'intervallo di confidenza si dice anche efficienza perché
+è la probabilità di scambiare "il segnale per segnale".
+
+Il `lemma di Neyemann Pearson` dice che la statistica di test che massimizza la
+purezza una volta fissata l'efficienza è il rapporto delle Likelihood:
+
+  L(H0)/L(H1).
+
+o comunque il rapporto delle probabilità di ottenere il campione misurato
+secondo le due ipotesi.