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From: Rnhmjoj <micheleguerinirocco@me.com>
Date: Mon, 2 Jun 2014 15:07:50 +0200
Subject: [PATCH] Add three perpendiculars theorem proof

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@@ -58,7 +58,37 @@ Due piani distinti, che si intersecano in un punto, hanno in comune una retta ch
 ## Teorema delle tre perpendicolari
 ![3 perpendicolari](images/6.png)
 
-Se dal piede di una perpendicolare a un piano si manda la  a una qualunque retta del piano, quest’ultima risulta perpendicolare al piano delle prime due.
+Se dal piede di una perpendicolare a un piano si manda la perpendicolare a una qualunque retta del piano, quest'ultima risulta perpendicolare al piano delle prime due.
+
+### Dimostrazione
+Siano $\mathscr{r}$ la retta perpendicolare al piano $\alpha$ per $H$, $t$ una qualunque retta giacente su $\alpha$ non passante per $H$ e $\mathscr{s}$ la perpendicolare a $\mathscr{t}$ passante per $H$.  
+Siano $S$ l'intersezione tra $\mathscr{t}$ e $\mathscr{s}$, $P$ e $Q$ due punti su $t$ tali che $PS \cong PQ$ e $T$ un punto qualunque su $\mathscr{r}$.
+
+Considero $\triangle HSQ$ e $\triangle HSP$. Essi hanno:
+
+* $HS$ in comune
+* $PS \cong PQ$ per costruzione
+* $HS \perp s$
+
+$\triangle HSQ \cong \triangle HSP$ per il 1° criterio di congruenza. In particolare hanno $HQ \cong HP$
+
+Considero $\triangle THQ$ e $\triangle THP$. Essi hanno:
+
+* $TH$ in comune
+* $PS \cong PQ$ per dimostrazione precedente
+* $T\widehat{H}Q \cong T\widehat{H}P$ perché retti
+
+$\triangle THQ \cong \triangle THP$ per il 1° criterio di congruenza. In particolare hanno $TQ \cong TP$
+
+Considero $\triangle TSQ$ e $\triangle TSP$. Essi hanno:
+
+* $TS$ in comune
+* $TQ \cong TP$ per dimostrazione precedente
+* $QS \cong SP$ perché retti
+
+$\triangle TSQ \cong \triangle TSP$ per il 3° criterio di congruenza. In particolare hanno $T\widehat{S}Q \cong T\widehat{S}P$.
+
+$T\widehat{S}Q \cong T\widehat{S}P \cong \widehat{R} \Rightarrow TS \perp s \Rightarrow s \perp \beta$
 
 
 ## Teorema di Talete nello spazio