lectures/notes.md

@@ -4,9 +4,9 @@
 
 È il rapporto tra la variazione percentuale del risultato e la variazione
 percentuale del dato in ingresso. È un parametro utile per controllare se
-un problema è mal o ben condizionato.
+un problema sia mal o ben condizionato.
-Nel caso di una funzione f, questo parametro si riduce ad essere:
+Nel caso di una funzione f, questo parametro si riduce ad essere
-
+10.1016/0168-9002(90)91334-8
   x f'(x) / f(x)
 
 e il limite per l'incremento dei dati iniziali tendente a zero è detto
@@ -36,10 +36,10 @@ da cui si ottiene il `teorema di Bayes`:
 # Correlazione tra variabili
 
 Si può usare per determinare se una teoria sia valida oppure no dato un certo
-campione sperimentale (A è la teoria e B sono i dati). P(A|B) è la joint pdf.
+campione sperimentale (A è la teoria e B sono i dati). P(A ⋂ B) è la joint pdf.
 Le `convoluzioni di Mellin e Fourier` servono per trovare la pdf di una
 variabile che è rispettivamente il prodotto o la somma di altre due variabili
-con pdf nota.
+con pdf nota (dimostrazione cartacea).
 La `covarianza` cov(x, y) è definita come:
 
   cov(x, y) = E[x * y] - (μx * μy) = E[(x - μx)*(y - μy)]
@@ -69,29 +69,29 @@ sommano in quadratura su tutta la matrice di covarianza.
 Abbiamo visto diversi tipi:
   - Binomiale
                     / N \                              E[n] = N*p
-      P(n, N, p) = |     | p^n (1 - p)^(N - n)    con
+      P(n, N, p) = |     | p^n (1 + p)^(N - n)    con
-                    \ n /                              V[n] = N*p*(1-p)
+                    \ n /                              V[n] = N*p*(p-1)
 
     da cui si può poi ricavare la multinomiale.
   - Poissoniana
 
-                ν^n                                    E[n] = ν
+                ν^n
-      P(n, ν) = --- e^(-ν)                        con  
+      P(n, ν) = --- e^(-ν)                        con  E[n] = V[n] = ν
-                n!                                     V[n] = ν
+                n!
 
     Si ottiene dal caso precedente per N→∞ e p→0 con N*p = ν.
   - Uniforme
                       1                                E[x] = (a + b)/2
-      P(x, a, b) =  -----                         con
+      P(x, b, a) =  -----                         con
-                    b - a                              V[x] = (b - a)²/12
+                    b - a                              V[x] = (b - a)^2/12
   - Gaussiana
-                      1        /  (x - μ)² \          E[x] = μ
+                      1        /  (x - μ)^2 \          E[x] = μ
-      G(x, μ, σ) = -------- e^| - --------  |    con 
+      G(x, μ, σ) = -------- e^| - ---------  |    con 
-                   √(2 π) σ    \    2 σ²   /          V[x] = σ²
+                   √(2 π) σ    \    2 σ^2   /          V[x] = σ^2
 
 È il limite delle prime due distribuzioni per N→∞.
 
-Il `teorema centrale del limite` dice che se una variabile è la somma di N
+Il `teorema centrale` del limite dice che se una variabile è la somma di N
 variabili indipendenti tutte con la stessa pdf con valore medio μi e devstd σi,
 allora tale variabile ha distribuzione Normale con:
 
@@ -108,7 +108,7 @@ kurtosis:
   γ = E | -------- |    k = E | -------- |  - 3
         |    σ³    |          |    σ⁴    |
 
-dove X e σ sono la media e la varianza e k = 3 - 3 = 0 per la Gaussiana.
+dove X è la media campionaria e 3 è la kurtosis della Gaussiana.
 
 # Test di ipotesi
 
@@ -128,7 +128,7 @@ Noi abbiamo sempre controllato solo qual è la pdf della statistica di test nel
 caso in cui l'ipotesi nulla sia vera e abbiamo posto il livello di confidenza
 al 95%, ovvero α = 5%.
 La potenza è detta anche purezza perché è la probabilità di scambiare "rumore
-per rumore", mentre l'intervallo di confidenza si dice anche efficienza perché
+per segnale", mentre l'intervallo di confidenza si dice anche efficienza perché
 è la probabilità di scambiare "il segnale per segnale".
 
 Il `lemma di Neyemann Pearson` dice che la statistica di test che massimizza la
@@ -176,29 +176,29 @@ non vuol dire che sia significativo.
 
 @4 ----------------------------------------------------------------------------
 
-# Stima di parametri (1)
+# Stima di parametri
 
 Consideriamo una variabile casuale x che segue la pdf f(x), la quale ha dei
 parametri Θ. Se io faccio una misura y di questi, allora otterrò uno stimatore
 ⊇(y) dei parametri Θ. Anche questo stimatore avrà una sua pdf che dipende dal
 valore vero. Uno stimatore deve soddisfare alcuni requisiti:
 
-  - consistenza: per N→∞, ⊇→Θ (convergenza in senso statistico);
+  - consistenza: per N→∞, ⊇→Θ;
   - unbias: E[⊇] = Θ
     Ovvero: ripetendo tante volte l'esperimento, il valore medio della
     distribuzione deve essere il valore vero;
   - deve avere una piccola varianza.
 
-Per esempio, la media campionaria è uno stimatore consistente e unbiased della
+Per esempio, la media campionaria è uno stimatore della media e la sua varianza
-media e la sua varianza è σ²/N, nel senso che se si ripetesse lo stesso
+è σ²/N, nel senso che se si ripetesse lo stesso esperimento tante volte e si
-esperimento tante volte e si guardasse la distribuzione delle medie così
+guardasse la distribuzione delle medie così ottenute, otterremmo che queste
-ottenute, otterremmo che queste medie seguono una pdf con questa varianza.
+medie seguono una pdf con questa varianza. Affinché lo stimatore della varianza
-Affinché lo stimatore della varianza sia unbiased, si deve introdurre la
+sia unbiasato, si deve introdurre la correzione di Bessel.
-correzione di Bessel.
 
 Un metodo che si può utilizzare è la maximum Likelihood. Se lo si applica al
 caso di una gaussiana, si trova che gli stimatori della media e della varianza
-sono la media e la varianza campionarie.
+sono la media e la varianza campionarie. Quest'ultima va però corretta con la
+correzione di Bessel.
 
 La disuguaglianza di `Cramer-Rao` (detto anche bound RCF) afferma che la matrice
 di covarianza è >= all'inverso della matrice Hessiana di -L calcolata nel
@@ -207,6 +207,14 @@ minimo.
 Uno `stimatore robusto` è poco sensibile ai valori nelle code della
 distribuzione. È buono che gli stimatori siano robusti. Un esempio è la media
 trimmata, in cui nel calcolo si escludono i punti più esterni.
+Quando si sta lavorando con una gaussiana contaminata, ovvero che è la somma
+di due gaussiane in cui la seconda è, per esempio, il rumore, ed ha una
+varianza maggiore, allora anziché usare la varianza campionaria standard,
+è meglio usare d_n:
+
+        1
+  d_n = - Σi |xi - X|
+        N
 
 L'`extended maximum Likelihood` si usa quando non ho deciso io il numero di
 dati ma è esso stesso una misura sperimentale (come nel caso dei decadimenti):
@@ -216,7 +224,7 @@ di ottenere degli stimatori con minore varianza.
 
 @5 ----------------------------------------------------------------------------
 
-# Stima di parametri (2)
+# Stima di parametri
 
 Il χ² è il metodo della Maximum Likelihood nel caso in cui:
 
@@ -236,10 +244,9 @@ Di solito si guarda poi il `χ² ridotto` e il fit è buono se è prossimo a uno
 IMPORTANTE:
 Il metodo della Likelihood e quello dei momenti si usano quando si hanno punti
 distribuiti secondo una pdf e si vogliono stimare i parametri della pdf. NON
-se si hanno delle y(x). Il metodo del χ², invece, si usa per trovare la
+si hanno delle y(x). Il metodo del χ², invece, si usa per trovare la funzione
-funzione che lega le y alle x (che poi abbiamo visto equivalere alla ML). Se
+che lega le y alle x. Se lo si vuole usare con dei dati ottenuti da una pdf,
-lo si vuole usare con dei dati ottenuti da una pdf, allora bisogna binnarli
+allora bisogna binnarli in modo tale da ottenere le y.
-in modo tale da ottenere le y.
 
 Quando ci sono dei problemi nella minimizzazione del χ², si può provare ad
 usare il `metodo dei momenti`, anche se generalmente dà risultati con maggiore
@@ -256,16 +263,6 @@ trovano col χ² sono infatti quelli con la varianza minima).
 
 L'errore è dato dalla propagazione degli errori (che è il solito U = AVA^T).
 
-Il `teorema di Wilks` asserisce che la grandezza:
-
-                /   L(μ)   \
-  t = - 2 * ln | ---------- |
-                \ L(μ_true)/
-
-è distribuita come un χ². È facile dimostrarlo supponendo che i dati siano
-attribuiti attorno ai relativi valori veri come Gaussiane centrate nei valori
-veri con devstd data da quella campionaria.
-
 @6 ----------------------------------------------------------------------------
 
 # Intervalli di confidenza
@@ -280,11 +277,12 @@ Dire che:
 
   x = x₀ ± δx CL = 68%
 
-significa che ripetendo N volte l'esperimento, il 68% delle volte il valore
+significa che ripetendo N volte l'esperimento, il 68% delle volte si otterrà
-vero sarà dentro l'intervallo (non che il valore vero ha il 68% di probabilità
+che x₀ appartiene a quell'intervallo (non che il valore vero ha il 68% di
-di essere in quell'intervallo, che non ha alcun senso...). Quando si vuole
+probabilità di essere in quell'intervallo, che non ha alcun senso...).
-stimare la media di una distribuzione, per il CLT questa segue una distribuzione
+Quando si vuole stimare la media di una distribuzione, per il CLT questa segue
-gaussiana per N→∞ e quindi gli intervalli di confidenza sono noti, date le σ.
+una distribuzione gaussiana per N→∞ e quindi gli intervalli di confidenza sono
+noti, date le σ.
 
 La `quantile` di 0.5 è la mediana. Il che significa che la quantile è l'inversa
 della cumulativa.
@@ -293,6 +291,8 @@ un intervallo di confidenza pari a 1 - α - β. Dovrò trovare gli estremi a e b
 che corrispondono a tali valori e per farlo dovrò utilizzare la quantile
 dell'area che mi serve.
 
+PARTE CHE NON SI CAPISCE UN TUBO
+
 @7 ----------------------------------------------------------------------------
 
 # Minimizzazione
@@ -302,23 +302,15 @@ la sua derivata prima sia nulla.
 Non esiste un metodo che con certezza identifichi il `minimo globale` di una
 funzione.
 
-Data la precisione finita dei floating point, non si può trovare esattamente il
+Data la precisione finita dei floating point, non si può cercare un minimo
-minimo: si troverà f(x) = f(x_min) + 1/2 d²f/dx² |x - x_min|. Si può porre un
+annullando la derivata prima. Al più si può porre un valore di tolleranza.
-valore di tolleranza per cui:
-
-f(x) ~ f(x_min) se f(x_min) >> 1/2 d²f/dx² |x - x_min|²
-    
-           1/2 d²f/dx² |x - x_min|²                     / 2 ε f(x_min) \
-    → ε >> ------------------------  →  |x - x_min| << | -------------- |^(1/2)
-                   f(x_min)                             \    d²f/dx²   /
 
 Vediamo un po' di metodi.
 
   - `Metodo di bisezione`:
-  Per trovare la radice di una funzione. Si può usare quando gli estremi sono
+  Si può usare quando gli estremi sono a > 0 > b e la funzione è monotona. Si
-  f(a) > 0 > f(b) e la funzione è monotona. Si divide a metà e si guarda se è
+  divide a metà e si guarda se è positivo o negativo e poi si aggiornano gli
-  positivo o negativo e poi si aggiornano gli estremi in modo da tenere i due
+  estremi in modo da tenere i due vicini a segni opposti.
-  vicini a segni opposti.
 
   - Metodo analogo:
   Se invece la funzione è di forma pseudoparabolica con estremi a e b, allora
@@ -459,12 +451,9 @@ Esistono diverse tecniche di deconvoluzione dei dati.
       μj = (νi - βi) Rij^-1 ~ (ni - βi) Rij^-1
 
     Massimizzando la Likelihood, si ottengono stimatori unbias e con varianza
-    minima n_i = ν_i. Se si fa così, però, siccome il problema dell'unfolding
+    minima n_i = ν_i. Se si fa così, però, non assomigliano affatto a quelli
-    è mal posto, si ottiene che se i dati veri sono lievemente diversi da
+    corretti. Si deve accettare di minimizzare la varianza: `procedura di
-    quelli misurati, il risultato sarà molto diverso da quello ottenuto.
+    unfolding generalizzata`.
-    Ciò si traduce nell'ottenere una varianza enorme sui valori μi. Si deve
-    accettare di aumentare il bias per poter minimizzare la varianza:
-    `procedura di unfolding generalizzata`.
 
   - `Metodo dei fattori di correzione`:
     I valori veri vengono stimati come:
@@ -483,11 +472,10 @@ Esistono diverse tecniche di deconvoluzione dei dati.
     Questo metodo funziona bene se non c'è molta migrazione tra bin e bin: è
     valido per dare una prima idea.
 
-  - `Unfolding regolarizzato`:
+  - `Unfolding generalizzato`:
     In questo caso si cerca sempre uno stimatore bias con varianza maggiore ma
     si cerca di ottenere una soluzione più liscia: lo si fa ponendo un limite Δ
-    alla differenza tra le likelihood L_max e L(μ) usata (per non allontanarsi
+    alla differenza tra L_max e L(μ) usato:
-    troppo dalla soluzione ottimale):
 
       L(μ) >= Lmax - ΔL
 
@@ -499,7 +487,7 @@ Esistono diverse tecniche di deconvoluzione dei dati.
 
       f(μ) = αL(μ) + S(μ)
 
-    Per cominciare si fissa α in base al ΔL scelto, considerando che:
+    Per cominciare si fissa α, considerando che:
     - per α = 0 si ottiene la soluzione più smooth che però ignora i dati;
     - per α → ∞ la soluzione non è smooth, perché massimizzare f(μ) equivale
       semplicemente a scegliere L(μ) = Lmax.
@@ -507,7 +495,7 @@ Esistono diverse tecniche di deconvoluzione dei dati.
 
       Σi νi = Σij Rij μj = Ntot
 
-    E quindi ci ri riduce al metodo dei moltiplicatori di Lagrange, ovvero si
+    E quindi ci ri riduce al metodo dei moltiplicatori di Laplace, ovvero si
     deve massimizzare:
 
       f(μ) = αL(μ) + S(μ) + λ[Ntot - Σij Rij μj]
@@ -520,7 +508,7 @@ Esistono diverse tecniche di deconvoluzione dei dati.
       tende a 0, più la funzione è liscia. Chiaramente, trattandosi di dati
       discreti, si fa la derivata numerica tra bin consecutivi.
       
-    - `Regolarizzazione con il Max Ent`:
+    - `Regolarizzazione col Max Ent`:
       Si usa la definizione di entropia per un set di probabilità pi:
 
         H = - Σi pi ln(pi)
@@ -531,9 +519,8 @@ Esistono diverse tecniche di deconvoluzione dei dati.
 
         pi = μi/Ntot
 
-    Per quanto riguarda la scelta di α, essa rappresenta un compromesso tra
+    Per quanto riguarda la scelta di α, in genere lo si sceglie minimizzando
-    bias (L(μ)) e varianza (S(μ)). in genere lo si sceglie minimizzando la
+    la matrice di covarianza, cioè il χ².
-    matrice di covarianza, cioè il χ².
 
 @10 ---------------------------------------------------------------------------
 
@@ -554,7 +541,7 @@ rilevato.
 In un pc, i dati vengono salvati in formato binario. Mentre per i numeri la
 conversione è immediata, per il linguaggio alfanumerico sono state inventate
 delle `codifiche` come per esempio il codice ASCII o l'UTF8. La tabella unicode
-contiene tutti i codepoint e descrive come eventualmente si fondono.
+contiene tutti codepoint e descrive come eventualmente si fondono.
 
 Il `bus` è l'insieme delle linee elettriche che collega vari dispositivi,
 ognuno dei quali è identificato univocamente da un indirizzo. I dispositivi

notes/sections/1.md

@@ -149,12 +149,11 @@ To obtain a better estimate of the mode and its error, the above procedure was
 bootstrapped. The original sample was treated as a population and used to build
 100 other samples of the same size, by *sampling with replacements*. For each one
 of the new samples, the above statistic was computed. By simply taking the
-mean and standard deviation of these statistics the following estimate was
+mean of these statistics the following estimate was obtained:
-obtained:
 $$
   \text{observed mode: } m_o = \num{-0.29 \pm 0.19}
 $$
-In order to compare the values $m_e$ and $m_o$, the following compatibility
+In order to compare the values $m_e$ and $m_0$, the following compatibility
 $t$-test was applied:
 $$
   p = 1 - \text{erf}\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)\ \with
@@ -185,7 +184,7 @@ middle elements otherwise.
 
 The expected median was derived from the quantile function (QDF) of the Landau
 distribution[^1].
-Once this is known, the median is simply given by $\text{QDF}(1/2)$. Since both
+Once this is know, the median is simply given by $\text{QDF}(1/2)$. Since both
 the CDF and QDF have no known closed form, they must be computed numerically.
 The cumulative probability was computed by quadrature-based numerical
 integration of the PDF (`gsl_integration_qagiu()` function in GSL). The function
@@ -211,13 +210,13 @@ where the absolute and relative tolerances $\varepsilon_\text{abs}$ and
 $\varepsilon_\text{rel}$ were set to \num{1e-10} and \num{1e-6},
 respectively.  
 As for the QDF, this was implemented by numerically inverting the CDF. This was
-done by solving the equation for x:
+done by solving the equation;
 $$
   p(x) = p_0
 $$
-given a probability value $p_0$, where $p(x)$ is the CDF. The (unique) root of
+for x, given a probability value $p_0$, where $p(x)$ is the CDF. The (unique)
-this equation was found by a root-finding routine (`gsl_root_fsolver_brent` in
+root of this equation was found by a root-finding routine
-GSL) based on the Brent-Dekker method.
+(`gsl_root_fsolver_brent` in GSL) based on the Brent-Dekker method.
 The following condition was checked for convergence:
 $$
   |a - b| < \varepsilon_\text{abs} + \varepsilon_\text{rel} \min(|a|, |b|)

notes/sections/2.md

@@ -10,7 +10,7 @@ $$
     \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}
   - \ln(n) \right)
 $$ {#eq:gamma}
-and represents the limiting red area in @fig:gamma. The first 30 digits of
+and represents the limiting blue area in @fig:gamma. The first 30 digits of
 $\gamma$ are:
 $$
   \gamma = 0.57721\ 56649\ 01532\ 86060\ 65120\ 90082 \dots
@@ -52,7 +52,7 @@ efficiency of the methods lies on how quickly they converge to their limit.
   \draw (7.0,-0.05) -- (7.0,0.05); \node [below, scale=0.7] at (7.0,-0.05) {7};
 \end{tikzpicture}
 \caption{The area of the red region converges to the Euler–Mascheroni
-         constant.}\label{fig:gamma}
+         constant..}\label{fig:gamma}
 }
 \end{figure}
 
@@ -109,8 +109,10 @@ sign, 8 for the exponent and 55 for the mantissa, hence:
 $$
   2^{55} = 10^{d} \thus d = 55 \cdot \log(2) \sim 16.6
 $$
-But only 10 digits were correctly computed. The best result is shown in
+Only 10 digits were correctly computed: this means that when the terms of the
-@tbl:naive-res.
+series start being smaller than the smallest representable double, the sum of
+all the remaining terms gives a number $\propto 10^{-11}$.  The best result is
+shown in @tbl:naive-res.
 
 ------- --------------------
 exact	  0.57721 56649 01533

notes/sections/3.md

@@ -13,7 +13,7 @@ distribution function $F$:
 \end{align*}
 where $\theta$ and $\phi$ are, respectively, the polar and azimuthal angles, and
 $$
-  \alpha = 0.65 \et \beta = 0.06 \et \gamma = -0.18
+  \alpha_0 = 0.65 \et \beta_0 = 0.06 \et \gamma_0 = -0.18
 $$
 To generate the points, a *hit-miss* method was employed:
 

notes/sections/5.md

@@ -49,9 +49,9 @@ approximate $I$ as:
 $$
   I \approx I_N = \frac{V}{N} \sum_{i=1}^N f(x_i) = V \cdot \avg{f}
 $$
-If $x_i$ are uniformly distributed, $I_N \rightarrow I$ for $N \rightarrow +
+If $x_i$ are uniformly distributed $I_N \rightarrow I$ for $N \rightarrow +
-\infty$ by the law of large numbers, whereas the integral variance $\sigma^2_I$
+\infty$ by the law of large numbers, whereas the integral variance can be
-can be estimated as:
+estimated as:
 $$
   \sigma^2_f = \frac{1}{N - 1}
     \sum_{i = 1}^N \left( f(x_i) - \avg{f} \right)^2

notes/sections/6.md

@@ -123,7 +123,7 @@ where:
   - $(\cdot, \cdot)$ is an inner product.
 
 Given a signal $s$ of $n$ elements and a kernel $k$ of $m$ elements,
-their convolution $c$ is a vector of $n + m + 1$ elements computed
+their convolution is a vector of $n + m + 1$ elements computed
 by flipping $s$ ($R$ operator) and shifting its indices ($T_i$ operator):
 $$
   c_i = (s, T_i \, R \, k)
@@ -446,8 +446,8 @@ close as possible. Formally, the following constraints must be satisfied:
   &\text{3.} \hspace{20pt} \sum_{i = 1}^m f_{ij} \le w_{qj}
   &1 \le j \le n
   \\
-  &\text{4.} \hspace{20pt} \sum_{j = 1}^n \sum_{j = 1}^m f_{ij} \le
+  &\text{4.} \hspace{20pt} \sum_{j = 1}^n f_{ij} \sum_{j = 1}^m f_{ij} \le w_{qj}
-  \text{min} \left( \sum_{i = 1}^m w_{pi}, \sum_{j = 1}^n w_{qj} \right)
+  = \text{min} \left( \sum_{i = 1}^m w_{pi}, \sum_{j = 1}^n w_{qj} \right)
 \end{align*}
 The first constraint allows moving dirt from $P$ to $Q$ and not vice versa; the
 second limits the amount of dirt moved by each position in $P$ in order to not
@@ -549,9 +549,9 @@ a large kernel, the convergence is very slow, even if the best results are
 close to the one found for $\sigma = 0.5$.
 The following $r$s were chosen as the most fitting:
 \begin{align*}
-  \sigma = 0.1 \, \Delta \theta &\thus r^{\text{best}} = 2    \\
+  \sigma = 0.1 \, \Delta \theta &\thus n^{\text{best}} = 2    \\
-  \sigma = 0.5 \, \Delta \theta &\thus r^{\text{best}} = 10   \\
+  \sigma = 0.5 \, \Delta \theta &\thus n^{\text{best}} = 10   \\
-  \sigma = 1   \, \Delta \theta &\thus r^{\text{best}} = \num{5e3}
+  \sigma = 1   \, \Delta \theta &\thus n^{\text{best}} = \num{5e3}
 \end{align*}
 
 Note the difference between  @fig:rless-0.1 and the plots resulting from $\sigma =

notes/sections/7.md

@@ -86,8 +86,8 @@ $$
   \tilde{\mu}_2 − \tilde{\mu}_1 = w^T (\mu_2 − \mu_1)
 $$
 This expression can be made arbitrarily large simply by increasing the
-magnitude of $w$ but, fortunately, the problem is easily solved by requiring
+magnitude of $w$, fortunately the problem is easily solved by requiring $w$
-$w$ to be normalised: $| w^2 | = 1$. Using a Lagrange multiplier to perform the
+to be normalised: $| w^2 | = 1$. Using a Lagrange multiplier to perform the
 constrained maximization, it can be found that $w \propto (\mu_2 − \mu_1)$,
 meaning that the line onto the points must be projected is the one joining the
 class means.  
@@ -334,21 +334,21 @@ To see how it works, consider the four possible situations:
     \quad f(x) = 0  \quad \Longrightarrow \quad \Delta = 0$  
     the current estimations work properly: $b$ and $w$ do not need to be updated;
   - $e = 1 \quad \wedge \quad f(x) = 0 \quad \Longrightarrow \quad
-    \Delta \propto 1$  
+    \Delta = 1$  
     the current $b$ and $w$ underestimate the correct output: they must be
     increased;
   - $e = 0 \quad \wedge \quad f(x) = 1 \quad \Longrightarrow \quad
-    \Delta \propto -1$  
+    \Delta = -1$  
     the current $b$ and $w$ overestimate the correct output: they must be
     decreased.
 
 Whilst the $b$ updating is obvious, as regards $w$ the following consideration
 may help clarify. Consider the case with $e = 0 \quad \wedge \quad f(x) = 1
-\quad \Longrightarrow \quad \Delta = -r$:
+\quad \Longrightarrow \quad \Delta = -1$:
 $$
   w^T \cdot x \to (w^T + \Delta x^T) \cdot x
               = w^T \cdot x + \Delta |x|^2
-              = w^T \cdot x - r|x|^2 \leq w^T \cdot x
+              = w^T \cdot x - |x|^2 \leq w^T \cdot x
 $$
 Similarly for the case with $e = 1$ and $f(x) = 0$.
 
@@ -399,8 +399,8 @@ $x_n$, the threshold function $f(x_n)$ was computed, then:
 
 and similarly for the positive points.  
 Finally, the mean and standard deviation were computed from $N_{fn}$ and
-$N_{fp}$ for every sample and used to estimate the significance $\alpha$
+$N_{fp}$ for every sample and used to estimate the purity $\alpha$ and
-and not-purity $\beta$ of the classification:
+efficiency $\beta$ of the classification:
 $$
   \alpha = 1 - \frac{\text{mean}(N_{fn})}{N_s} \et
   \beta = 1 - \frac{\text{mean}(N_{fp})}{N_n}