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# Statistica
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## Distribuzioni di probabilità
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Una funzione di densità di probabilità $f$ è definita in modo che la probabilità
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che una variabile $x$ sia compresa tra $x$ e $x + dx$ sia data da:
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$$
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P(x \subset [x, x + dx]) = f(x)dx
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$$
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dunque vale che:
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$$
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\int\limits_{- \infty}^{+ \infty} dx f(x) = 1
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$$
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Si definisce funzione cumulante:
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$$
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F(x) = \int\limits_{- \infty}^x dx' f(x')
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$$
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e quantile di ordine $\alpha$ il valore di $x$ per cui $F(x) = \alpha$.
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Nel caso multidimensionale in cui si abbiano due o più variabili, si parla di
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joint pdf:
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$$
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f(x, y) \hspace{30pt} \Longrightarrow \hspace{30pt}
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\int\limits_{- \infty}^{+ \infty} \int\limits_{- \infty}^{+ \infty}
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dx dy f(x, y) = 1
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$$
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e si definiscono due distribuzioni marginali:
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$$
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f_x (x) = \int\limits_{- \infty}^{+ \infty} dy f(x, y)
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\hspace{50pt}
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f_y (y) = \int\limits_{- \infty}^{+ \infty} dx f(y, x)
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$$
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dunque due variabili $x$ e $y$ sono indipendenti se $f(x) = f_x(x) \cdot
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f_y(y)$. Ora, se $A$ è l'evento di probabilità $f_x(x)dx$, mentre $B$ ha
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probabilità $f_y(y)dy$, allora si possono definire le pdf condizionali come
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segue:
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$$
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P(B|A) = \frac{P (A \cap B)}{P(A)} = \frac{f(x, y)dxdy}{f_x(x)dx}
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\hspace{20pt} \Longrightarrow \hspace{20pt} h(y|x) = \frac{f(x, y)}{f_x(x)}
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$$
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per cui il teorema di Bayes diventa:
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$$
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g(x|y) = \frac{h(y|x)f_x(x)}{f_y(y)}
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$$
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\begin{tikzpicture}
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\draw [thick, pink] (0,0) -- (1,0);
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\draw [red] (1.5,0) circle [radius=0.1];
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\draw [thick, pink] (2,0) -- (3,0);
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\draw [red] (3.5,0) circle [radius=0.1];
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\draw [thick, pink] (4,0) -- (5,0);
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\draw [red] (5.5,0) circle [radius=0.1];
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\draw [thick, pink] (6,0) -- (7,0);
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\draw [red] (7.5,0) circle [radius=0.1];
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\draw [thick, pink] (8,0) -- (9,0);
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\draw [red] (9.5,0) circle [radius=0.1];
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\draw [thick, pink] (10,0) -- (11,0);
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\draw [red] (11.5,0) circle [radius=0.1];
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\draw [thick, pink] (12,0) -- (13,0);
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\draw [red] (13.5,0) circle [radius=0.1];
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\draw [thick, pink] (14,0) -- (15,0);
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\end{tikzpicture}
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### Paradosso di Borel-Kolmogorov
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Si considerino dei punti distribuiti uniformemente sulla superficie del pianeta
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Terra: ci si aspetterebbe che i punti siano uniformemente distribuiti anche
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lungo un parallelo o un meridiano... ma consideriamo un meridiano: esso giace
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per il 25% a nord del 45'esimo parallelo e quindi, secondo la logica di prima,
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anche il 25% dei punti che si trovano su di esso. Però non è vero che il 45%
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della superficie terrestre è al di sopra del 45'esimo parallelo!
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Il paradosso è risolto perché non ci si può basare su un insieme di misura
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nulla quale il meridiano (perché è unidimensionale). Lo si vede chiaramente
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adottando la terminologia poc'anzi introdotta:
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Se la distribuzione è uniforme, la probabilità di trovare un punto in una
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certa superficie è dato dal rapporto tra l'angolo solido descritto da tale
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superficie e l'angolo solido totale:
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$$
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f(\theta, \phi) d\theta d\phi= \frac{d\phi d\theta \cos(\theta)}{4 \pi}
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$$
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da cui è possibile determinare la due probabilità marginali:
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$$
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f_{\phi}(\phi) = \int\limits_{0}^{\pi} f(\theta, \phi) d\theta =
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\int\limits_{0}^{\pi} \frac{\cos(\theta)}{4 \pi} = \frac{\cos(\theta)}{2}
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$$
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$$
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f_{\theta}(\theta) = \int\limits_{0}^{2 \pi} f(\theta, \phi) d\phi =
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\frac{1}{2 \pi}
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$$
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per cui si tratta di due costanti rispetto alle rispettive variabili. Da ciò
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si può dunque dedurre che, mentre la densità lungo un parallelo è
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effettivamente costante, lo stesso non si può dire riguardo a un meridiano.
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\begin{tikzpicture}
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\draw [thick, pink] (0,0) -- (1,0);
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\draw [red] (1.5,0) circle [radius=0.1];
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|
\draw [thick, pink] (2,0) -- (3,0);
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||
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|
\draw [red] (3.5,0) circle [radius=0.1];
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|
\draw [thick, pink] (4,0) -- (5,0);
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|
\draw [red] (5.5,0) circle [radius=0.1];
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||
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|
\draw [thick, pink] (6,0) -- (7,0);
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||
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|
\draw [red] (7.5,0) circle [radius=0.1];
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|
\draw [thick, pink] (8,0) -- (9,0);
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|
\draw [red] (9.5,0) circle [radius=0.1];
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||
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|
\draw [thick, pink] (10,0) -- (11,0);
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||
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|
\draw [red] (11.5,0) circle [radius=0.1];
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||
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|
\draw [thick, pink] (12,0) -- (13,0);
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||
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|
\draw [red] (13.5,0) circle [radius=0.1];
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||
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|
\draw [thick, pink] (14,0) -- (15,0);
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|
\end{tikzpicture}
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Una funzione di una variabile casuale è essa stessa una variabile casuale.
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Consideriamo la pdf $f(x)$ e una funzione $a(x)$ di cui si vuole trovare la pdf
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$g(a)$. Nel caso in cui l'inversa di $a(x)$ sia univoca, definita $dS$ la
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regione delle $x$ per cui $a \subset [a, a +da]$:
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$$
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g(a)da = \int\limits_{dS} dxf(x)
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= \left| \int\limits_{x(a)}^{x(a +da)} f(x')dx' \right|
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= \int\limits_{x(a) + \left| \frac{dx}{da} \right| da}^{x(a +da)} f(x')dx'
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$$
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Ovvero:
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$$
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g(a) = f(x(a)) \left| \frac{dx}{da} \right|
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$$
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e se $x(a)$ non è univoca, allora bisogna considerare tutti gli intervalli $dS$
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di $dx$ che corrispondono a $da$.
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Nel caso di funzioni di $N$ variabili, siccome vale che:
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$$
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g(a')da' = \int \dots \int\limits_{dS} f(x_1 \dots x_N) dx_1 \dots dx_N
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$$
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con $dS$ regione dello spazio delle $x$ compreso tra le isosuperfici:
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$$
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a(\vec{x}) = a' \hspace{10pt} \wedge \hspace{10pt} a(\vec{x}) = a' + da'
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$$
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Nel caso in cui $z = x \cdot y$, si trova la convoluzione di Mellin:
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$$
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g(z)dz = \int\limits_{dS} dxdy f(x, y)
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= \int\limits_{-\infty}^{+\infty} dx
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\int\limits_{\frac{z}{x}}^{\frac{z + dz}{x}} dy f(x, y)
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$$
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**\textcolor{red}{Non ho capito questa parte...}**
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## Propagazione degli errori
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Consideriamo una variabile $x$ con pdf $f(x)$. Si definisce valore di
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aspettazione o media (e lo si indica spesso con $\mu$):
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$$
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E[x] = \int dx f(x) x
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$$
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Nel caso di una variabile $y(x)$ con pdf $g(x)$, invece:
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$$
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E[y] = \int dy \cdot y \cdot g(y) = \int dx f(x) g(x)
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$$
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Mentre si definisce varianza (e la si indica spesso con $\sigma^2$, mentre
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con deviazione standard si intende $\sigma$):
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$$
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V[x] = E[x - E[x]^2] = E[x^2] - \mu^2
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$$
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Più in generale si definiscono 'momenti algebrici' $E[x^n] =\mu'_n$ con
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$\mu'_1 = \mu$ e 'momenti centrali' $E[(x -\mu)^n] = \mu_n$ con $\mu_2 =
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\sigma^2$.
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Si definiscono inoltre due grandezze di correlazione. La covarianza:
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$$
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\text{cov} [x, y] = E[xy] - E[x]E[y] = E[xy] - \mu_x \mu_y
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$$
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che equivale a:
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\begin{align*}
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\text{cov} [x, y]
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&= E[(x -\mu_x)(y -\mu_y)] \\
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&= E[xy -x\mu_y -y\mu_x + \mu_x\mu_Y] \\
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&= E[xy] -\mu_y E[x] -\mu_x E[y] + \mu_x \mu_y \\
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&= E[xy] -\mu_y mu_x - \mu_x \mu_y + \mu_x \mu_y \\
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&= E[xy] - \mu_x \mu_y
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\end{align*}
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Notare che se $x$ e $y$ sono indipendenti, allora $f(x, y) = f_x(x)f_y(y)$,
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perciò:
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$$
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E[xy] = \int dx \int dy xy f(x, y) = \mu_x \mu_y
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\hspace{20pt} \Longrightarrow \hspace{20pt} \text{cov} [x, y] = 0
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$$
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e il coefficiente di correlazione:
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$$
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\rho_{xy} = \frac{\text{cov} [xy]}{\sigma_x \sigma_y}
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$$
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{width=70%}
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Anche se la $f(\vec{x})$ non è completamente nota, è comunque possibile stimare
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il valore medio e la varianza di una grandezza $y(\vec{x})$ conoscendo solo le
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stime di media e varianza della pdf. Espandiamo attraverso la serie di
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Taylor:
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$$
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y(\vec{x}) = y(\vec{\mu}) + \sum_{i= 1}^N \left[
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\frac{\partial y}{\partial x_i} \right]_{\vec{x}
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= \vec{\mu}} (x_i - \mu_i)
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$$
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$$
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\Longrightarrow \hspace{20pt} E[y] = y(\vec{\mu})
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\Longleftarrow \hspace{20pt} E[x_i] = \mu_i
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$$
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Mentre per la varianza servono $E[y^2]$ ed $E[y]$. Sempre passando
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attraverso uno sviluppo di Taylor attorno al valore medio:
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\begin{align*}
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E[y^2] &= y^2(\vec{\mu}) + 2y(\vec{\mu}) \sum_{i = 1}^{N}
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\left[ \frac{\partial y} {\partial x_i} \right]_{\vec{x} = \vec{\mu}}
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E[x_i - \mu_i] \\
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|
&+ E \left[ \left( \sum_{i_1}^N
|
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\left[ \frac{\partial y}{\partial x_i} \right]_{\vec{x} = \vec{\mu}}
|
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(x_i - \mu_i) \right) \left( \sum_{j = 1}^N \left[ \frac{\partial y}
|
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|
{\partial x_i} \right]_{\vec{x} = \vec{\mu}} (x_j - \mu_j) \right) \right]
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\end{align*}
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Siccome il secondo termine si annulla sempre perché $E[x_i] = \mu_i$, allora
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rimane che:
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$$
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V[y] = E[y^2] - E[y]^2 = \sigma_y^2 = \sum_{i,j = 1}^N \left[
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\frac{\partial y}{\partial x_i}
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\frac{\partial y}{\partial x_j}\right]_{\vec{x} = \vec{\mu}} V_{ij}
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$$
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Con $V_{ij}$ che è la matrice di covarianza, che ha come entrate:
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$$
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V_{ij} = E[(x_i - \mu_i)(x_j - \mu_j)] = \rho_{ij} \sigma_i \sigma_j
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$$
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e quindi, nel caso in cui le variabili siano scorrelate, si ottiene che:
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$$
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V_{ij} = \sigma_i^2 \delta_{ij}
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\hspace{20pt} \Longrightarrow \hspace{20pt}
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\sigma_y^2 = \sum_{i = 1}^N \left[ \frac{\partial y}{\partial x_i}
|
||
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\right]_{\vec{x} = \vec{\mu}}^2 \sigma_i^2
|
||
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$$
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Cioè dice quanto cambia la $y$ al variare del 'dato iniziale' $\vec{x}$.
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Ma quindi, per quanto visto prima:
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$$
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\text{cov} [x_i, x_j] = E[(x_i - \mu_i)(x_j - \mu_j)] = V_{ij}
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$$
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Più in generale, date $\vec{y}$ variabili dipendenti da $\vec{x}$, vale che:
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$$
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U = AVA^T \hspace{30pt} \text{con} \hspace{30pt} A_{ij} = \left[
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|
\frac{\partial y_i}{\partial x_j} \right]_{\vec{x} = \vec{\mu}}
|
||
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|
\hspace{30pt} \text{e con} \hspace{30pt} U_{kl} = \text{cov}[y_k, y_l]
|
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$$
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dove $U$ è detta matrice di covarianza delle $y$.
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Attenzione: quanto detto fin'ora, che descrive in che modo gli errori di
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$\vec{x}$ influenzano $y$, vale solo nel caso in cui $y$ sia lineare nelle $x$.
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Quindi, in casi come $y(x) = 1/x$, non si può fare questo discorso.
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\begin{tikzpicture}
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||
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|
\draw [thick, pink] (0,0) -- (1,0);
|
||
|
|
\draw [red] (1.5,0) circle [radius=0.1];
|
||
|
|
\draw [thick, pink] (2,0) -- (3,0);
|
||
|
|
\draw [red] (3.5,0) circle [radius=0.1];
|
||
|
|
\draw [thick, pink] (4,0) -- (5,0);
|
||
|
|
\draw [red] (5.5,0) circle [radius=0.1];
|
||
|
|
\draw [thick, pink] (6,0) -- (7,0);
|
||
|
|
\draw [red] (7.5,0) circle [radius=0.1];
|
||
|
|
\draw [thick, pink] (8,0) -- (9,0);
|
||
|
|
\draw [red] (9.5,0) circle [radius=0.1];
|
||
|
|
\draw [thick, pink] (10,0) -- (11,0);
|
||
|
|
\draw [red] (11.5,0) circle [radius=0.1];
|
||
|
|
\draw [thick, pink] (12,0) -- (13,0);
|
||
|
|
\draw [red] (13.5,0) circle [radius=0.1];
|
||
|
|
\draw [thick, pink] (14,0) -- (15,0);
|
||
|
|
\end{tikzpicture}
|
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|
|
|
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|
### Esempio
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|
Consideriamo:
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$$
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y = x_1 - x_2
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||
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$$
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$$
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||
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\text{con} \hspace{30pt} \mu_1 = \mu_2 = 10 \hspace{30pt} \wedge
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||
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\hspace{30pt} \sigma_1 = \sigma_2 = 1
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$$
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allora abbiamo che $y = y(x_1, x_2)$, quindi:
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$$
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E[y] = y(\mu_1, \mu_2) = 10 - 10 = 0
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$$
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$$
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V[y] = \sum_{i, j = 1}^2 \left[ \frac{\partial y}{\partial x_i}
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\frac{\partial y}{\partial x_j}\right]_{\vec{x} = \vec{\mu}} V_{ij} =
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1 \cdot V_{11} + 1 \cdot V_{22} -1 \cdot 2 \cdot V_{12}
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$$
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Se le correlazioni sono nulle, allora $V_{12} = 0 \Longrightarrow V[y] = 2
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\Longrightarrow \sigma_y = 1.4$, se invece $x_1$ e $x_2$ sono correlate, nel
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caso in cui il coefficiente di correlazione sia unitario si ha che $V[y] =
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0$. Quindi la correlazione può cambiare di molto le cose.
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\begin{tikzpicture}
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\draw [thick, pink] (0,0) -- (1,0);
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\draw [red] (1.5,0) circle [radius=0.1];
|
||
|
|
\draw [thick, pink] (2,0) -- (3,0);
|
||
|
|
\draw [red] (3.5,0) circle [radius=0.1];
|
||
|
|
\draw [thick, pink] (4,0) -- (5,0);
|
||
|
|
\draw [red] (5.5,0) circle [radius=0.1];
|
||
|
|
\draw [thick, pink] (6,0) -- (7,0);
|
||
|
|
\draw [red] (7.5,0) circle [radius=0.1];
|
||
|
|
\draw [thick, pink] (8,0) -- (9,0);
|
||
|
|
\draw [red] (9.5,0) circle [radius=0.1];
|
||
|
|
\draw [thick, pink] (10,0) -- (11,0);
|
||
|
|
\draw [red] (11.5,0) circle [radius=0.1];
|
||
|
|
\draw [thick, pink] (12,0) -- (13,0);
|
||
|
|
\draw [red] (13.5,0) circle [radius=0.1];
|
||
|
|
\draw [thick, pink] (14,0) -- (15,0);
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||
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|
\end{tikzpicture}
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### Errori sistematici
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Consideriamo due grandezze $x_1$ e $x_2$ con un errore sistematico in comune
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$S$:
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\begin{align*}
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&x_1 = x_{1_0} + x_{1_s} \\
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|
&x_2 = x_{2_0} + x_{2_s}
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||
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\end{align*}
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si avrà che i termini con pedice $0$ sono indipendenti tra loro, mentre gli
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altri due saranno correlati. Dato che gli errori si sommano in quadratura, la
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matrice di covarianza sarà quindi:
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$$
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\text{cov}[x_1, x_2] = S^2 \hspace{30pt} \Longrightarrow \hspace{30pt}
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V = \begin{pmatrix}
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|
\sigma_1^2 + S^2 & S^2\\
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|
S^2 & \sigma_2^2 + S^2
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|
\end{pmatrix}
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$$
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perché:
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\begin{align*}
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\text{cov}[x_1, x_2] &= E[x_1 x_2] - E[x_1]E[x_2] = \\
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&= E[(x_{1_0} + x_{1_s})(x_{2_0} + x_{2_s})] - E[x_{1_0} + x_{1_s}]
|
||
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|
E[x_{2_0} + x_{2_s}] = \\
|
||
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|
&= E[x_{1_0}x_{2_0}] + E[x_{1_0}x_{2_s}] + E[x_{1_s}x_{2_0}]
|
||
|
|
+ E[x_{1_s}x_{2_s}] + \\
|
||
|
|
&\hspace{13pt} - E[x_{1_0}]E[x_{2_0}] - E[x_{1_0}]E[x_{2_2}]
|
||
|
|
- E[x_{1_s}]E[x_{2_0}] - E[x_{1_s}]E[x_{2_s}] = \\
|
||
|
|
&= \mu_1 \mu_2 + \mu_1E[x_{2_s}] + E[x_{1_s}]\mu_2 +E[x_{1_s}x_{2_s}] + \\
|
||
|
|
&\hspace{13pt} - \mu_1 \mu_2 - \mu_1 E[x_{2_s}] - E[x_{1_s}] \mu_2
|
||
|
|
- E[x_{1_s}] E[x_{2_s}] = \\
|
||
|
|
&= E[x_{1_s} x_{2_s}] - E[x_{1_s}] E[x_{2_s}] = \text{cov}[x_{1_s}, x_{2_s}]
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|
\end{align*}
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### Trasformazione ortogonale
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Può tornare utile fare un cambio di variabile che permetta di ottenere una
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matrice di covarianza delle $y$ diagonale.
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Consideriamo le solite variabili $Y_i$ legate linearmente alle $x_j$:
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$$
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y_i = \sum_j = A^i_j x_j
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\hspace{30pt} \Longrightarrow \hspace{30pt}
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U_{ij} = \sum_{k,l} A_{ik} V_{kl} A^T_{lj}
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$$
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Si tratta quindi di diagonalizzare la matrice $U$: la soluzione è semplice,
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la matrice $A$ è quella formata dagli autovalori di $V$. Questo concetto è
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utile nel caso della scelta delle coordinate da utilizzare.
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Se immaginiamo di star utilizzando le coordinate polari $\vec{x} = (x, y)$, la
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matrice di covarianza sarà:
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$$
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V = \begin{pmatrix}
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|
\sigma_1^2 & \rho \sigma_1 \sigma_2 \\
|
||
|
|
\rho \sigma_1 \sigma_2 & \sigma_2^2
|
||
|
|
\end{pmatrix}
|
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$$
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Diagonaliziamola: prima di tutto troviamo gli autovalori della matrice $V -
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\lambda I$:
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$$
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\begin{vmatrix}
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||
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|
\sigma_1^2 - \lambda & \rho \sigma_1 \sigma_2 \\
|
||
|
|
\rho \sigma_1 \sigma_2 & \sigma_2^2 - \lambda
|
||
|
|
\end{vmatrix}
|
||
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|
= (\sigma_1^2 - \lambda) (\sigma_2^2 - \lambda) - \rho^2 \sigma_1^2
|
||
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|
\sigma_2^2 = 0
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|
$$
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||
|
|
\begin{align*}
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||
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|
&\Longrightarrow \hspace{30pt}
|
||
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|
\lambda^2 -(\sigma_1^2 + \sigma_2^2) \lambda + \sigma_1^2 \sigma_2^2
|
||
|
|
(1 - \rho^2) = 0 \\
|
||
|
|
&\Longrightarrow \hspace{30pt}
|
||
|
|
\lambda_{1,2} = \frac{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 \pm
|
||
|
|
\sqrt{\sigma_1^4 + \sigma_2^4 +2 \sigma_1^2 \sigma_2^2
|
||
|
|
- 4 \sigma_1^2 \sigma_2^2 + 4\rho^2 \sigma_1^2 \sigma_2^2}}{2} = \\
|
||
|
|
&\Longrightarrow \hspace{30pt}
|
||
|
|
\lambda_{1,2} = \frac{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 \pm
|
||
|
|
\sqrt{(\sigma_1^2 - \sigma_2^2)^2 +4 \rho^2 \sigma_1^2 \sigma_2^2}}{2}
|
||
|
|
\end{align*}
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||
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|
e ora calcoliamo gli autovettori:
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$$
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|
(V - \lambda I)\vec{r} = 0
|
||
|
|
\hspace{30pt} \Longrightarrow \hspace{30pt}
|
||
|
|
\begin{pmatrix}
|
||
|
|
\sigma_1^2 - \lambda & \rho \sigma_1 \sigma_2 \\
|
||
|
|
\rho \sigma_1 \sigma_2 & \sigma_2^2 - \lambda
|
||
|
|
\end{pmatrix}
|
||
|
|
\begin{pmatrix}
|
||
|
|
r_1 \\
|
||
|
|
r_2
|
||
|
|
\end{pmatrix}
|
||
|
|
=
|
||
|
|
\begin{pmatrix}
|
||
|
|
r_1 \\
|
||
|
|
r_2
|
||
|
|
\end{pmatrix}
|
||
|
|
$$
|
||
|
|
$$
|
||
|
|
\Longrightarrow \hspace{30pt}
|
||
|
|
\begin{cases}
|
||
|
|
(\sigma_1^2 - \lambda)r_1 + \rho \sigma_1 \sigma_2 r_2 = r_1 \\
|
||
|
|
\rho \sigma_1 \sigma_2 r_1 + (\sigma_2^2 - \lambda)r_2 = r_2
|
||
|
|
\end{cases}
|
||
|
|
\hspace{30pt} \Longrightarrow \hspace{30pt}
|
||
|
|
r_1 = \frac{}{} r_2
|
||
|
|
$$
|
||
|
|
|
||
|
|
eccetera eccetera...
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