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Distribuzioni di probabilità
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## Distribuzione binomiale
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Si considerino $N$ tentativi di un esperimento che può avere come esiti
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soltanto successo o fallimento e che la probabilità di ogni successo sia $p$.
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Definiamo $n$ il numero dei successi. Dunque la probabilità di ottenere $n$
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successi su $N$ tentativi totali è data da:
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$$
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P(N, n, p) = \binom{N}{n} p^n (1 - p)^{N -n}
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$$
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perché:
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- la probabilità che un successo si verifichi è $p$;
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- la probabilità che $k$ successi si verifichino è data dal prodotto di tutte
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le probabilità: $p^n$;
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- lo stesso discorso vale per gli insuccessi: ognuno ha probabilità $(1_p)$ e
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se ne verificano $N -n$;
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- il termine binomiale rappresenta tutte le possibili permutazioni: il
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concetto è semplice se si immagina di posizionare successi e fallimenti
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all'interno di una griglia con $N$ possibili posizioni: un successo è un
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pallino bianco e un fallimento è un pallino nero. In quanti posti posso
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mettere il primo successo? $N$. E il secondo? $N -1$. E il terzo? E così
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via, finché ho messo tutti i successi, che occupano $n$ posizioni, l'ultima
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delle quali è stata scelta tra $N - (n -1)$ posizioni, per cui:
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$$
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N \cdot (N -1) \dots (N -n + 1) =
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\frac{N \cdot (N -1) \dots (N -n + 1) \cdot 2 \cdot 1}
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{(N -n) \cdot (N - n -1) \dots 2 \cdot 1} = \frac{N!}{(N -n)!}
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$$
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ma non bisogna considerare che poi tutte le posizioni delle palline nere
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sono uguali, quindi va ulteriormente diviso per $n!$ per le stesse ragioni.
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Da cui:
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$$
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\binom{N}{n} = \frac{N!}{n! (N -n)!}
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$$
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Per la normalizzazione, vale che:
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$$
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\sum_{n = 0}^N P(N, n, p) = 1
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$$
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Possiamo definire un valore di aspettazione e una varianza:
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\begin{align*}
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&E[n] = \sum_{n = 0}^N n P(N, n, p) = Np \\
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&V[n] = E[n^2] - E[n]^2 = Np(1 -p)
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\end{align*}
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## Distribuzione multinomiale
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È la generalizzazione della pdf precedente nel caso in cui ci siano $m$
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possibili risultati, ciascuno con una probabilità $P_m$ di verificarsi. Per
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esempio, è il caso di un istogramma riguardo al quale ci si domanda quale sia la
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probabilità di trovarlo esattamente con quelle specifiche entrate.
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La probabilità è conseguentemente data da:
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$$
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P(N, \vec{n}, \vec{p}) = \frac{N!}{n_1! n_2! \dots n_m!}
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p_1^{n_1} p_2^{n_2} \dots p_m^{n_m}
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$$
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E come valore di aspettazione e deviazione standard si ottiene che:
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\begin{align*}
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&E[n_i] = Np_i \\
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&V[n_i] = Np_i (1 -p_i)
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\end{align*}
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### Legge dei grandi numeri
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La legge dei grandi numeri afferma che la media sperimentale di una variabile
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$x$, per un numero di tentativi $N$ che tende all'infinito, si avvicina molto
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alla media vera. Questa legge può essere utilizzata per stimare le probabilità
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$P_i$ di una distribuzione muiltinomiale tramite le frequenze con cui i diversi
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eventi si verificano.
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Si consideri la frequenza $f_j$ con cui l'evento j-esimo si verifica, dato un
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set di $N$ tentativi:
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$$
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f_j = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^N x_i = \frac{x_j}{N}
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$$
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dove $x_i$ è una variabile che vale 1 se l'evento j-esimo si è verificato e
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vale 0 quando se ne è verificato un altro e $x_j$ è quindi il numero di volte
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che l'evento j-esimo si è verificato.
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A differenza di $P_j$, $f_j$ è una variabile casuale perché dipende da $x_j$
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che è la somma di variabili casuali. Definiamo valore medio:
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$$
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E(f_j) = \frac{E(x_j)}{N} = P_j
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$$
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e calcoliamo la varianza:
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$$
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V \left[ f_j \right] = V \left[ \frac{x_j}{N} \right] =
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E \left[ \frac{x_j^2}{N^2} \right] - \left( E \left[ \frac{x_j}{N}
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\right] \right)^2 = \frac{1}{N^2} V \left[ x_j \right]
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$$
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ora, $x_j$ è esattamente $n_j$ della multinomiale, perciò:
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$$
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V[x_j] = NP_j (1 - P_j)
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\hspace{30pt} \Longrightarrow \hspace{30pt}
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V[f_j] = \frac{1}{N} P_j (1 - P_j) \leqslant \frac{1}{N}
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$$
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## Distribuzione di Poisson
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Se si considera la distribuzione binomiale e ci si pone nel limite in cui il
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numero di tentativi ripetuti tenda all'infinito e che la probabilità di
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successo tenda a zero (con il vincolo che $N \cdot p = cost = \nu$), si ottiene
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la distribuzione di Poisson:
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$$
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P(N, n, \nu) = \frac{\nu^n}{n!} e^{-\nu}
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$$
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con:
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\begin{align*}
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&E[n] = \nu \\
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&V[n] = \nu
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\end{align*}
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dove $\nu = NP = \frac{}{}$ numero medio di successi.
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Quando $N$ è talmente grande da non essere definito (come nel caso in cui si
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osservino i decadimenti di un atomo e dunque i tentativi sono le osservazioni,
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che sono dunque continue), non è più possibile definire una probabilità di
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successo per ogni evento (perché sarebbe nulla, da cui il motivo per cui
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la Poissoniana è definita con questi due limiti), e quindi $\nu$ va definita in
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un altro modo. Infatti la distribuzione di Poisson, trattandosi di un limite in
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$N$ e $p$, non dipende più esplicitamente da queste due grandezze.
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Nel caso in cui si osservi il decadimento di un atomo, si è soliti procedere in
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questo modo: si suddivide il tempo di osservazione in intervalli (il che
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significa aver suddiviso gli infiniti tentativi in sottoinsiemi di infiniti
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tentativi) e si misura quante volte in ognuno di questi intervalli si verifica
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un successo. L'esperimento è ora praticamente suddiviso in più esperimenti
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minori da cui è possibile dedurre un numero medio frequentistico di successi.
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Per esempio:
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----------------------------------------------------------
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# successi 0 1 2 3 4 5 6 7
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------------- ------ ----- ----- ---- ---- --- ----- -----
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# intervalli 1042 860 307 78 15 3 0 0
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Poisson 1064 823 318 82 16 2 0.3 0.3
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----------------------------------------------------------
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Table: Decadimento di un atomo. Il tempo di osservazione è stato suddiviso in
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intervalli e per ogni intervallo è stato contato il numero di successi
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osservati.
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\newpage
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Il numero medio di eventi è:
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$$
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\frac{1042 \cdot 0 + 860 \cdot 1 + 307 \cdot 2 + 78 \cdot 3 + 15 \cdot 4
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+ 3 \cdot 5 + 0 \cdot 6 + 0 \cdot 7}{1064 + 860 + 307 + 78 + 15 + 3
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+ 0 + 0} = 0.77
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$$
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Da cui è possibile calcolare i valori sempre riportati nella tabella precedente.
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## Distribuzione uniforme
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Una pdf di numeri che hanno tutti uguale probabilità di verificarsi è detta
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uniforme:
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$$
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P (n, a, b) = \begin{cases}
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\frac{1}{b - a} \hspace{30pt} a \leqslant x \leqslant b \\
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0 \hspace{42pt} \text{altrove}
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\end{cases}
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$$
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con:
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\begin{align*}
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E[n] = \frac{1}{2} (a + b) \\
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V[n] = \frac{1}{12} (a + b)^2
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\end{align*}
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Se una variabile è distribuita secondo una pdf $f(x)$, la sua cumulante è
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uniformemente distribuita. Intuitivamente è semplice perché basta vederla in
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questo modo: si immagini il grafico della pdf; ogni volta che si estrae un
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numero, questo cadrà in un punto casuale nell'area al di sotto della pdf,
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lasciando uno spazio casuale alla sua sinistra (che è il valore della
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cumulante)
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## Distribuzione Gaussiana e CLT
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La distribuzione Gaussiana (o normale) è definita come:
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$$
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P (x, \mu, \sigma) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma}
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e^{\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}}
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$$
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con:
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\begin{align*}
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E[x] = \mu \\
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V[x] = \sigma^2
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\end{align*}
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La error function, che è la cumulativa di questa pdf, è molto utile in
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laboratorio e i suoi valori sono tabulati.
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Il teorema centrale del limite afferma che date $n$ variabili casuali
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indipendenti distribuite con una pdf comune e varianze $\sigma_i^2$, nel
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limite in qui $n \rightarrow + \infty$, la somma di queste variabili segue un
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andamento gaussiano con valore medio la somma dei valori medi e varianza la
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somma delle varianze.
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Ciò può essere sfruttato per generare numeri casuali distribuiti secondo una
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distribuzione normale.
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Per grandi valori di $\mu$ (vale a dire qualche unità), la distribuzione di
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Poisson tende a quella Gaussiana con $\mu = \nu$ e $\sigma = \sqrt{\nu}$.
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Analogamente per $N \rightarrow + \infty$ la binomiale tende alla Gaussiana
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con $\mu = Np$ e $\sigma = \sqrt{Np (1 - p)}$.
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## Distribuzione Gaussiana multivariata
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Nel caso multidimensionale, la pdf per il vettore $\vec{x} = {x_1 ... n_n}$ è
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data da:
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$$
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f(\vec{x}, \vec{\mu}, V) = \frac{1}{(2 \pi)^{N/2} \mid V \mid^{1/2}}
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\exp \left[ - \frac{1}{2} (\vec{x} - \vec{\mu})^t V^{-1} (\vec{x}
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- \vec{\mu}) \right]
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$$
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con $E[x_i] = \mu_i$ e $\text{cov}[x_i, x_j] = V_{ij}$
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## Media pesata
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Quando si hanno misure con diversi errori, vanno combinate attraverso il
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concetto di media pesata:
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$$
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E[x] = \frac{\sum_{i = 1}^N \frac{x_i}{\sigma_i^2}}{\sum_{i = 1}^N
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\frac{1}{\sigma_i^2}}
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$$
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$$
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V[x] = \frac{1}{\sum_{i = 1}^N \frac{1}{\sigma_i^2}}
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$$
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Ma non ha senso mediare valori che non sono compatibili!
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## Distribuzione di Breit-Wigner
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Esistono alcune distribuzioni che hanno momenti non ben definiti e che per
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questo si dicono "patologiche". Un esempio è la distribuzione di Breit-Wigner:
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$$
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f (x, \Gamma, x_o) = \frac{1}{\pi} \cdot
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\frac{\Gamma/2}{\Gamma^2/4 + (x - x_0)^2}
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$$
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Un caso particolare è quello in cui $x_0 = 0$ e $\Gamma = 2$, caso in cui è
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detta distribuzione di Cauchy:
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$$
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f(x, 2, 0) = f(x) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{1}{1 + x^2}
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$$
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Il valore medio e la varianza non sono definiti perché l'integrale è
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divergente. Conviene usare la moda e l'ampiezza a mezza altezza, che sono
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rispettivamente $x_0$ e $\Gamma$.
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Nella libreria *GSL*, la pdf è scritta in questo modo:
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$$
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p(x) = \frac{1}{a \pi (1 + (x/a))^2}
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\hspace{50pt} \Longrightarrow \hspace{50pt}
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a = \Gamma/2
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$$
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## Distribuzione di Landau
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Per una particella carica con $\beta = v/c$ che attraversa un materiale sottile
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di spessore $d$, la perdita di energia $\Delta$ segue la distribuzione di
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Landau:
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Ha una forma complicatissima che racchiude integrali, logaritmi... Anche in
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questo caso non si possono definire i momenti algebrici perché l'integrale
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diverge.
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## Distribuzione del chi-quadro
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Date $N$ grandezze distribuite ciascuna con una propria distribuzione
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Gaussiana, la somma dei loro quadrati segue la distribuzione $\chi^2$.
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Formalmente è definita così:
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$$
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f(z, n) \frac{1}{2^{n/2} \Gamma (n/2)} z^{n/2 - 1}e^{-z/2}
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$$
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\begin{align*}
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&E[z] = n \\
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&V[z] = 2n
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\end{align*}
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dove $z$ è la variabile e $n$ è il numero di fradi di libertà.
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Quando si fa un esperimento e si campiona $y(x)$ e poi si fittano i dati
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trovati con una funzione teorica $f(x)$, ciascun valore $y(x)$ si assume
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distribuito come una gaussiana attorno al suo valore vero, che assumiamo
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essere $f(x)$: dunque i residui, che sono la differenza $R(x)= y(x) - f(x)$,
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sono ancora una gaussiana, ma centrata in zero. Il chi quadro è definito come:
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$$
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\sum_i \frac{[y(x_i) - f(x_i)]^2}{f(x_i)}
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\hspace{50pt} \text{oppure} \hspace{50pt}
|
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|
\sum_i \frac{[y(x_i) - f(x_i)]^2}{\sigma_i^2}
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$$
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Ne consegue che il chi quadro segua appunto la distribuzione del chi quadro.
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Nella libreria *GSL* la distribuzione $\chi^2$ corrisponde alla distribuzione
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gamma con $a = n/2$ e $b = 2$.
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## Distribuzione esponenziale
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$$
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f(x, \lambda) = \lambda e^{-\lambda x}
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$$
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\begin{align*}
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&E[z] = \frac{1}{\lambda} \\
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&V[z] = \frac{1}{\lambda^2}
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\end{align*}
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## Distribuzione t di Student
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È la distribuzione seguita dalla media di una popolazione gaussiana quando
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la si stima con un piccolo campione e senza conoscere la deviazione standard.
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Se $y_1$ è distribuita come una Gaussiana e $y_2$ come un $\chi^2$, se $\nu$
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sono i gradi di libertà, allora $x$ segue la t di Student:
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$$
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x = \frac{y_1}{\sqrt{\frac{y_2}{\nu}}}
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$$
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che è così definita:
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f(x, \nu) = \frac{\Gamma \left( \frac{\nu + 1}{2} \right)}{\sqrt{\nu \pi}
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\Gamma \left( \frac{\nu}{2} \right)} \left( 1 + \frac{x^2}{\nu}
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\right)^{- \frac{\nu + 1}{2}}
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$$
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\begin{align*}
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&E[z] = 0 \\
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&V[z] =
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\begin{cases}
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\frac{\nu}{\nu - 2} \hspace{15pt} \nu \greater 2 \\
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\infty \hspace{30pt} \nu \leqslant 2
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\end{cases}
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\end{align*}
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## Distribuzione di Fischer-Snedecor
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Se si hanno due campioni $\vec{x}$ e $\vec{y}$ di variabili che seguono le
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rispettive Gaussiane, si può usare la distribuzione di Fisher-Snedecor per
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comparare le due varianze. Se nel primo caso le variabili sono $n$ e nel
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secondo sono $m$, allora la distribuzione di Fisher con gradi di libertà
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$n-1$ e $m-1$ dà la distribuzione del rapporto:
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\frac{S^2_x / S^2_y}{\sigma^2_x / \sigma^2_y} =
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\frac{S^2_x / \sigma^2_x}{S^2_y / \sigma^2_y}
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$$
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con:
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S^2_x = \frac{1}{n -1} \sum_{i = 1}^n (x_i - \mu_i)^2
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\hspace{50pt} \text{,} \hspace{50pt}
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S^2_y = \frac{1}{m -1} \sum_{i = 1}^m (y_i - \mu_i)^2
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$$
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che quindi è il rapporto di due grandezze distribuite secondo il $chi^2$.
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La definizione della pdf è complicata...
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## Funzione caratteristica
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Si definisce funzione caratteristica di una variabile $x$ distribuita secondo
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una $f(x)$, la trasformata di Fourier di quest'ultima:
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\hat{f}(k) = E[e^{ikx}] = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} dx f(x) e^{ikx}
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$$
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come per ogni trasformata, tutte le informazioni contenute nella funzione
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originaria sono contenute anche nella funzione caratteristica, perché per
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tornare alla prima è sufficiente calcolare la trasformata inversa:
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$$
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f(x) = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} dx \hat{f}(k) e^{-ikx}
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$$
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la funzione caratteristica è utile per semplificare alcuni conti. Se
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$x_1 \dots x_N$ sono variabili casuali indipendenti:
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\begin{align*}
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z = \sum_{i = 1}^N x_i
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\hspace{20pt} \Longrightarrow \hspace{20pt}
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\hat{f}_z(k) &= \int dx_1 \dots dx_N f_1(x_1)
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\dots f_N(x_N) e^{ik \sum_{i=1}^N x_i} = \\
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&= \int dx_1 f_1(x_1) e^{ikx_1} \dots \int dx_N f_N(x_N) e^{ikx_N} = \\
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&= \hat{f}_1(k) \dots \hat{f}_N(k)
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\end{align*}
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Inoltre vale anche che:
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\frac{d^m}{dk^m} \hat{f}(k) \big|_{k = 0} =
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\frac{d^m}{dk^m}
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\int\limits_{-\infty}^{+\infty} dx f(x) e^{ikx} \big|_{k = 0} =
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i^m \int\limits_{-\infty}^{+\infty} dx f(x) e^{ikx} x^m \big|_{k = 0} =
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i^m \mu_m = i^m E[x^m]
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$$
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che è il momento algebrico di ordine $m$.
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Per esempio, nel caso di due variabili indipendenti $x$ e $y$ gaussiane, si
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può notare subito che la loro somma è una gaussiana con $\mu = \mu_x + \mu_y$ e
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$\sigma^2 = \sigma_x^2 + \sigma_y^2$. Analogamente per la Poissoniana.
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Inoltre è facile osservare quale sia il comportamento delle pdf nei vari limiti
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che abbiamo visto in precedenza: se si manda $N \rightarrow \infty$ mantenendo
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il valore medio costante nella funzione caratteristica di una binomiale, si
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ottiene la funzione caratteristica di una Poissoniana. Anche il teorema
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centrale del limite si può dimostrare in questo modo.
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